Summability Of Fourier Series Research Articles

Approximation of Functions of the Classes CβψHα by Linear Methods Summation of Their Fourier Series

In this paper, we considered arbitrary linear summation methods of Fourier series specified by a set of continuous functions dependent on the real parameter and established their approximation properties. We obtained asymptotic formulas for the exact upper bounds of the deviations of operators generated by λ-methods of Fourier series summation from the functions of the classes CβψHα under certain restrictions on the functions ψ.

On the Realization of Exact Upper Bounds of the Best Approximations on the Classes H1,1 by Favard Sums

In this paper, we find the sets of all extremal functions for approximations of the Hölder classes of H1 2π-periodic functions of one variable by the Favard sums, which coincide with the set of all extremal functions realizing the exact upper bounds of the best approximations of this class by trigonometric polynomials. In addition, we obtain the sets of all of extremal functions for approximations of the class H1 by linear methods of summation of Fourier series. Furthermore, we receive the set of all extremal functions for the class H1 in the Korneichuk–Stechkin lemma and its analogue, the Stepanets lemma, for the Hölder class H1,1 functions of two variables being 2π-periodic in each variable.

Approximation properties of Abel-Poisson integrals on the classes of differentiable functions, defined by means of modulus of continuity

Being the natural apparatus of the periodic functions approximation, the partial Fourier sums are not uniformly convergent over the entire space of the continuous functions. This fact stimulated the search for ways to construct sequences of polynomials that would converge uniformly on the entire space. The matrix method of Fourier series summation is one of the most common methods. Many results on the approximation of the classes of differentiated functions have been obtained for methods generated by triangular infinite matrices. The set of approximating linear methods can be extended by the process of summation of Fourier series, when instead of an infinite triangular matrix one considers the set $\Lambda=\{\lambda_{\delta}(k)\}$ of functions of the natural argument depending on the real parameter $\delta$. The paper deals with the problem of approximation in the uniform metric of $W^{1}H_{\omega}$ classes using one of the classical linear summation methods for Fourier series given by a set of functions of a natural argument, namely, using the Abel-Poisson integral. At the same time, emphasis is placed on the study of the asymptotic behavior of the exact upper limits of the deviations of the Abel-Poisson integrals from the functions of the mentioned class.

Approximation of classes of Poisson integrals by Fejer means

The paper is devoted to the investigation of problem of approximation of continuous periodic functions by trigonometric polynomials, which are generated by linear methods of summation of Fourier series.
 The simplest example of a linear approximation of periodic functions is the approximation of functions by partial sums of their Fourier series. However, the sequences of partial Fourier sums are not uniformly convergent over the class of continuous periodic functions. Therefore, many studies devoted to the research of the approximative properties of approximation methods, which are generated by transformations of the partial sums of Fourier series and allow us to construct sequences of trigonometrical polynomials that would be uniformly convergent for the whole class of continuous functions. Particularly, Fejer sums have been widely studied recently. One of the important problems in this area is the study of asymptotic behavior of the sharp upper bounds over a given class of functions of deviations of the trigonometric polynomials.
 In the paper, we study upper asymptotic estimates for deviations between a function and the Fejer means for the Fourier series of the function. The asymptotic behavior is considered for the functions represented by the Poisson integrals of periodic functions of a real variable. The mentioned classes consist of analytic functions of a real variable. These functions can be regularly extended into the corresponding strip of the complex plane.An asymptotic equality for the upper bounds of Fejer means deviations on classes of Poisson integrals was obtained.

Approximation of classes of Poisson integrals by Fejer means

The work is devoted to the investigation of problem of approximation of continuous periodic functions by trigonometric polynomials, which are generated by linear methods of summation of Fourier series. The simplest example of a linear approximation of periodic functions is the approximation of functions by partial sums of their Fourier series. However, the sequences of partial Fourier sums are not uniformly convergent over the class of continuous periodic functions. Therefore, a many studies is devoted to the research of the approximative properties of approximation methods, which are generated by transformations of the partial sums of Fourier series and allow us to construct sequences of trigonometrical polynomials that would be uniformly convergent for the whole class of continuous functions. Particularly, Fejer means have been widely studied in the last time. One of the important problems in this field is the study of asymptotic behavior of the upper bounds over a fixed classes of functions of deviations of the trigonometric polynomials. The aim of the work systematizes known results related to the approximation of classes of Poisson integrals of continuous functions by arithmetic means of Fourier sums, and presents new facts obtained for particular cases. The asymptotic behavior of the upper bounds on classes of Poisson integrals of periodic functions of the real variable of deviations of linear means of Fourier series, which are defined by applying the Fejer summation method is studied. The mentioned classes consist of analytic functions of a real variable, which are narrowing of bounded harmonic in unit disc functions of complex variable. In the work, asymptotic equalities for the upper bounds of deviations of Fejer means on classes of Poisson integrals were obtained.

Some Properties of Wigner Polynomials

Such well-known scientists as Legendre, Gegenbauer, Jacobi, Lager and others were engaged in the study of various properties of orthogonal polynomials. They introduced the concept of various polynomials and determined their properties. With these polynomials the series in orthogonal polynomials are composed and the issue of representing a function with these series is studied; the convergence and summability of these series are also studied by various methods. In the presented paper, the so-called Wigner polynomials are considered. These polynomials are involved in the definition of generalized spherical functions. Therefore, determining the properties of these polynomials would be useful for studying the convergence and summability of Fourier series with respect to generalized spherical functions. In this paper, some basic properties of Wigner polynomials are studied. In particular, asymptotic formulas and some estimates for these polynomials are determined.

ЛИНЕЙНЫЕ МЕТОДЫ СУММИРОВАНИЯ РЯДОВ ФУРЬЕ

Fourier series addition is the most powerful tool for solving various problems, since the Fourier series can be solved in an open way by differentiation, integration, moving with functions of the argument, and convolution. The general provisions of matrix summation of Fourier series are also considered and examples of Ʌ-methods are given. In this paper, we show the process of solving by summation of Fourier series for some functions completely, starting with writing out the corresponding summed function. Further, this system is solved by one of the simplest, but often used linear methods of matrix summation of Fourier series.

Approximation Properties of the Vallée-Poussin Means Similar to the Partial Sums of Fourier Series in Laguerre–Sobolev Polynomials

Approximation Properties of the Vallée-Poussin Means Similar to the Partial Sums of Fourier Series in Laguerre–Sobolev Polynomials

On The Summability Of Fourier Series By The Generalized Cesaro Method

The analogous of Lebesgue-Gergen convergence test for generalized Ces´aro means of Fourier trigonometric series is given.

Analysis of Data Transmission using one modified neural networks

The traditional neural networks cannot provide modern mapping capability which is most important for analysis of data transmission nowadays. Therefore, Sigma-Pi-Sigma neural networks (SPSNNs) are good tool for this operation because of easy architecture. Application of integrated learning approach for neural networks, which uses sigma-pi-sigma neurons, helps us to complete their task for small period of time. It’s very necessary for neurons to find the solution of the problem. A final result of our results can be used in order to find the routes of “safety”, which we can indicate by position and state of cable lines or ties. For correct analysis and accurate results, we use pulse refectory method with using special device in order to get waveform, which introduce the connection problem. So, Sigma-Pi-Sigma neural network model is used for exact interpretation of altering probe signal. It is crucial that we also used rectangular methods of summation of Fourier series firstly. Therefore, it is main novelty of our investigation.

On the Summability of Fourier Series by the Generalized Cesáro Method

On the Summability of Fourier Series by the Generalized Cesáro Method

Pythagorean harmonic summability of Fourier series

Abstract This paper explores the possibility for summing Fourier series nonlinearly via the Pythagorean harmonic mean. It reports on new results for this summability with the introduction of new concepts like the smoothing operator and semi-harmonic summation. The smoothing operator is demonstrated to be Kalman filtering for linear summability, logistic processing for Pythagorean harmonic summability and linearized logistic processing for semi-harmonic summability. An emerging direct inapplicability of harmonic summability to seismic-like signals is shown to be resolvable by means of a regularizational asymptotic approach.

Generalized Cesàro summability of Fourier series and its applications

In this paper, by using generalized Cesàro means based on q-integers we study on approximating continuous and periodic functions by its Fourier series. We also discuss its connection with the concept of statistical convergence. At the end of the paper, some applications and graphical illustrations are also provided.

О зависимости качества машинного перевода текста от используемого преобразования Фурье

Машинный перевод широко используется при переводе различной коммерческой, технической, научной информации, что связано с процессом глобализации и соответственно расширением сети деловых отношений. Математические методы, касающиеся машинных переводов текстов, в последнее время получили новый толчок в связи с интенсивным развитием теории преобразования Фурье. Так, при обработке контрастных сигналов и изображений возросли требования к точности фильтрации, которые впоследствии позволят создавать более эффективные алгоритмы фильтрации. Среди существующих алгоритмов фильтрации наиболее эффективны частотные алгоритмы, т.е. такие, в которых обработке подлежат коэффициенты разложения зашумленного сигнала по Фурье-базису. При использовании алгоритмов Фурье фильтрации важную роль играют свойства преобразования Фурье, которые, в свою очередь, зависят от принадлежности к тому или иному классу дифференцируемых функций. Необходимым условием для существования непрерывного преобразования Фурье является абсолютное сходимость некоторых функций, с помощью которого описывается исследуемый реальный процесс. В роли таких моделируемых функций на практике очень часто используют так называемые «суммирующие функции», которые очень удобно строить с помощью линейного матричного суммирования рядов Фурье. Что касается последних, то здесь принято различать как треугольные, так и прямоугольные линейные матричные методы. Работа посвящена исследованию условий сходимости преобразований Фурье как треугольных, так и прямоугольных линейных матричных методов суммирования рядов Фурье. Кроме того, в данной статье показано, что скорость сходимости преобразования Фурье прямоугольного линейного метода Абеля-Пуассона в раз быстрее скорости сходимости аналогичного треугольного линейного метода Абеля-Пуассона. Этот результат в дальнейшем может существенно влиять на выбор более эффективного преобразования Фурье, которое можно будет использовать в процессе машинного перевода текста.

On summability of Fourier series by the repeated de la Vallée Poussin sums

On summability of Fourier series by the repeated de la Vallée Poussin sums

Approximation of Signals by Harmonic-Euler Triple Product Means

Our paper deals with the approximation of signals by <em>H<sub>1</sub>.E<sup>θ</sup>.E<sup>θ</sup></em> product means of Fourier and its conjugate series. New theorems based on <em>H<sub>1</sub>.E<sup>θ</sup>.E<sup>θ</sup></em> product summability have been established and proved under general conditions. The established theorems extend, generalize and improve various existing results on summability of Fourier series and its conjugate series.

О приближении функций класса Зигмунда бигармоническими интегралами Пуассона

Работа посвящена изучению поведения верхнего предела отклонения функций класса Зигмунда от их бигармонических интегралов Пуассона. Исследования в данном направлении проводились и проводятся систематически как отечественными, так и зарубежными учеными. Большинство полученных результатов относится к оценке отклонений функций того или иного класса от операторов, построенных с помощью треугольных методов суммирования рядов Фурье (Фейера, Валле Пуссена, Рисса, Рогозинского, Стеклова, Фавара и др.). Что касается результатов относительно линейных методов суммирования рядов Фурье, заданных с помощью множества функций натурального аргумента (Абеля-Пуассона, Гаусса-Вейерштрасса, бигармонического и трехгармонического интегралов Пуассона), то здесь успехи менее заметны. Возможно, это связано с тем, что упомянутые выше линейные методы суммирования рядов Фурье являются решениями соответствующих интегрально-дифференциальных уравнений эллиптического типа и поэтому требуют более трудоемких вычислений с целью получения для них определенных оценок, пригодных для их непосредственное использование в прикладных целях. Исследования, проведенные в данной работе, относятся к изучению апроксимативных характеристик линейных положительных операторов типа Пуассона на классах функций Зигмунда. Согласно хорошо известным результатам П.П. Коровкина именно эти положительные линейные операторы осуществляют наилучшее асимптотическое приближение функций класса Зигмунда. Таким образом, полученная в данной работе оценка отклонения функций класса Зигмунда от их бигармонических интегралов Пуассона (наименее исследованных и наиболее востребованных среди всех линейных положительных операторов) актуальна с точки зрения прикладной математики.

Calculation of fractional integrals using partial sums of Fourier series for structural mechanics problems

The goal of this study is to develop and apply an approximate method for calculating integrals that are part of models using Riemann-Liouville integrals, and to create a software product that allows such calculations for given functions. The main results of the study consist in the construction of a quadrature formula for an integral, and the cases where the density of the integral is a function from the spaces of continuous functions with generalized derivatives with weight and the Helder classes of functions with weight were considered. For the proposed quadrature formula we further investigated the error of its approximation in the spaces of continuous functions and quadratic-summing functions with weight. As a result of the study, effective error estimates of the approximating apparatus in the proposed classes of functions have been established. In addition, the approximated method has been implemented on the computer in the form of a program in the C language. The significance of the obtained results for the construction industry consists in the fact that when solving problems, including problems on finding the shapes of structures, taking into account the properties of materials, environmental changes, in the models of which the Riemann-Liouville integrals are used, it will be possible to apply an approximate approach, the quadrature formula proposed in the article.

О приближении средними Фейера классов аналитических периодических функций

Работа посвящена вопросам приближения периодических функций высокой гладкости средними арифметическими сумм Фурье. Наиболее естественным и простым примером линейного процесса аппроксимации периодических непрерывных функций действительной переменной является приближение елементами последовательности частичных сумм ряда Фурье. Известно, что последовательности частичных сумм ряда Фурье не являются равномерно сходящимися на всем пространстве $C$ $2\pi$-периодических непрерывных функций. Поэтому значительное число работ данного направления посвящено изучению аппроксимативных свойств других методов приближения, которые для заданной функции $f$ образуются с помощью некоторых преобразований частичных сумм ее ряда Фурье, и позволяют построить последовательности тригонометрических полиномов, которые равномерно сходятся для каждой функции $f \in C$. В частности, на протяжении последних десятилетий интенсивно изучаются суммы Валле Пуссена и суммы Фейера. В настоящее время в публикациях этой тематики накоплено значительное количество фактического материала. Одним из наиболее важных направлений в этой области является изучение асимптотического поведения верхних граней уклонений средних арифметических сумм Фурье по различным классам периодических функций. Методы исследования интегральных представлений уклонений тригонометрических полиномов, которые порождаются линейными методами суммирования рядов Фурье, возникли и получили свое развитие в работах С.М.~Никольского, С.Б.~Стечкина, Н.П.~Корнейчука, В.К. Дзядыка и их учеников.Целью работы является систематизация известных результатов, касающихся приближения классов периодических функций высокой гладкости средними арифметическими сумм Фурье, и представление новых фактов, полученных для их частных случаев.В работе изучено аппроксимативные свойства сумм Фейера на классах периодических функций, которые можно регулярно продолжить в соответствующую полосу комплексной плоскости. Получена асимптотическая формула для верхних граней уклонений в равномерной метрике сумм Фейера на классах интегралов Пуассона. Полученная формула обеспечивает решение соответствующей задачи Колмогорова-Никольского без дополнительных условий.

Обобщенный интеграл Пуассона и его прикладные аспекты

Математические методы исследования, основанные на статистике, применяются в социологии довольно давно. Функционирование социально-экономических систем - сложный процесс, обусловленный большим количеством разнообразных факторов. Таким образом, при построении моделей социально-экономических процессов необходимо решать задачи как декомпозиции структур и процессов, так и их интеграции в единую системную модель с учетом изменяющихся условий внешней среды. Математическое моделирование таких задач может осуществляться методами сетевого анализа или теории игр, позволяющей найти оптимальные стратегии поведения конкурирующих сторон. Центральную роль в теории игр играют асимптотические постановки, поскольку в силу сложной стратегической природы явные решения удается найти лишь в очень редких случаях. Большое количество моделей, создаваемых для изучения сложных процессов, происходящих в обществе, — это динамические системы или неавтономные дифференциальные или разностные уравнения с большим числом параметров. В этой ситуации важно выбрать подходящий инструмент для изучения поведения таких систем. В данной работе в качестве агрегатов приближения рассматриваются обобщенные дельта-операторы Пуас-сона, поскольку периодические процессы, делящиеся на гармонические и полигармонические, обеспечивают внутреннюю целостность сложных систем и их динамическое функционирование. Изучаются вопросы асимптотического поведения точных верхних граней приближений обобщенными дельта-операторами Пуассона на классах периодических функций, удовлетворяющих условию Липшица. Полученные оценки обеспечивают решение задачи Колмогорова-Никольского для обобщенных дельта-операторов Пуассона и классов Липшица. Доказательство построено на использовании формул, дающих интегральные представления отклонений линейных методов, порождаемых линейными методами суммирования рядов Фурье на множествах периодических функций в равномерной метрике, полученных в работах Л.И. Баусовой. Результаты могут быть эффективным инструментом моделирования процессов социальной динамики.