Abstract
Работа посвящена вопросам приближения периодических функций высокой гладкости средними арифметическими сумм Фурье. Наиболее естественным и простым примером линейного процесса аппроксимации периодических непрерывных функций действительной переменной является приближение елементами последовательности частичных сумм ряда Фурье. Известно, что последовательности частичных сумм ряда Фурье не являются равномерно сходящимися на всем пространстве $C$ $2\pi$-периодических непрерывных функций. Поэтому значительное число работ данного направления посвящено изучению аппроксимативных свойств других методов приближения, которые для заданной функции $f$ образуются с помощью некоторых преобразований частичных сумм ее ряда Фурье, и позволяют построить последовательности тригонометрических полиномов, которые равномерно сходятся для каждой функции $f \in C$. В частности, на протяжении последних десятилетий интенсивно изучаются суммы Валле Пуссена и суммы Фейера. В настоящее время в публикациях этой тематики накоплено значительное количество фактического материала. Одним из наиболее важных направлений в этой области является изучение асимптотического поведения верхних граней уклонений средних арифметических сумм Фурье по различным классам периодических функций. Методы исследования интегральных представлений уклонений тригонометрических полиномов, которые порождаются линейными методами суммирования рядов Фурье, возникли и получили свое развитие в работах С.М.~Никольского, С.Б.~Стечкина, Н.П.~Корнейчука, В.К. Дзядыка и их учеников.Целью работы является систематизация известных результатов, касающихся приближения классов периодических функций высокой гладкости средними арифметическими сумм Фурье, и представление новых фактов, полученных для их частных случаев.В работе изучено аппроксимативные свойства сумм Фейера на классах периодических функций, которые можно регулярно продолжить в соответствующую полосу комплексной плоскости. Получена асимптотическая формула для верхних граней уклонений в равномерной метрике сумм Фейера на классах интегралов Пуассона. Полученная формула обеспечивает решение соответствующей задачи Колмогорова-Никольского без дополнительных условий.
Highlights
The paper is devoted to the approximation of periodic functions
natural example of a linear process of approximation of continuous periodic functions of a real variable is the approximation of these functions by partial sums
In connection with this, a significant number of papers is devoted to the study of the approximative properties
Summary
Пусть Cβq,∞ — множество непрерывных 2π-периодических функций f (x), которые с точностью до константы можно задать с помощью свертки π. В случае, когда p = 1 суммы Валле Пуссена совпадают с суммами Фурье, а при p = n — с суммами Фейера функции f n−1. Связанные с исследованием асимптотического поведения верхних граней уклонений тригонометрических полиномов Vn,p(f ; x) и их частных случаев на классах интегралов Пуассона, изучались во многих работах. Асимптотическая формула для верхних граней уклонений сумм Валле Пуссена на классах Cβq,∞ в случае n − p → ∞, p → ∞ получена в работе В.И. Вопросы приближения классов интегралов Пуассона повторными суммами Валле Пуссена рассмотрены в работах [10, 12, 11]. В работе [13] (также [14]) авторами получено асимптотическое равенство для верхних граней уклонений сумм Фейера на классах аналитических функций Cβq,∞ в случае β = 0. Где O(1) — величина, равномерно ограниченная относительно n.
Sign-in/Register to view highlights & summary Talk to us
Join us for a 30 min session where you can share your feedback and ask us any queries you have
Schedule a callDisclaimer: All third-party content on this website/platform is and will remain the property of their respective owners and is provided on "as is" basis without any warranties, express or implied. Use of third-party content does not indicate any affiliation, sponsorship with or endorsement by them. Any references to third-party content is to identify the corresponding services and shall be considered fair use under The CopyrightLaw.
