Работа посвящена изучению тригонометрических сумм алгебраических сеток с весами, которые играют центральную роль в модификации метода К. К. Фролова, предложенной Н. М. Добровольским в 1984 году. Тригонометрическую сумму алгебраической сетки с весами для вектора ⃗m = ⃗0, естественно, назвать взвешенным числом точек алгебраической сетки.Во введении данной работы предложено обоснование актуальности темы исследования, даются необходимые определения и факты из современной теории метода К. К. Фролова, доказывается важная теорема о разложении тригонометрической суммы алгебраической сетки с весами в ряд по точкам алгебраической сетки. В разделе «Вспомогательные леммы» приводятся без доказательства необходимые факты из теории весовых функций специального вида, которые играют принципиальную роль в модификации Н. М. Добровольского метода К. К. Фролова.Используя теорему о разложении тригонометрической суммы алгебраической сетки с весами в ряд по точкам алгебраической сетки и лемму о значении тригонометрического интеграла от весовой функции, в работе выводится асимптотическая формула для взвешенного числа точек алгебраической сетки со специальной весовой функцией порядка 2, которая утверждает, что такое число стремится к единице. Аналогично, показано, что при росте детерминанта алгебраической решётки для любого вектора ⃗m ≠ ⃗0, тригонометрическая сумма алгебраических сеток с весами, заданной специальной весовой функцией, стремится к 0.Для простоты изложения в основном тексте статьи рассматривается только случай простейшей весовой функции порядка 2.В заключении сформулированы без доказательства аналогичные утверждения о значениях тригонометрических сумм алгебраических сеток со специальными весовыми функциями порядка r + 1 для произвольного натурального r.А именно, утверждается, что для взвешенного числа точек алгебраической сетки со специальной весовой функцией порядка r справедливо стремление к 1 с остаточным членом порядка s−1 логарифма детерминанта алгебраической решётки, делённого на r + 1 степень детерминанта алгебраической решётки. Аналогичное утверждение справедливо о стремлении к нулю тригонометрической суммы алгебраической сетки с весами, заданной специальной весовой функцией порядка r + 1.