Stochastic models of just-in-time systems and windows of vulnerability in terms of the processes of birth and death

Abstract

В работе предлагается метод построения моделей на основе анализа процессов размножения и гибели с линейным ростом в семимартингальных терминах. На основе этого метода рассматриваются стохастические модели простых систем точно-в-срок (анализируемые в теории продуктивных систем) и окна уязвимости (широко обсуждаемые в теории риска). Основные результаты, полученные в работе, представлены в терминах средних значений времени, за которое процессы достигают нулевых значений. При этом рассматриваются и используются при исследовании моделей оценки для локальных времен процессов. Здесь анализируются простые марковские процессы с линейным ростом интенсивностей (скорость которого, быть может, зависит от времени). При этом полученные и используемые оценки представляют теоретический интерес. Так, например, среднее значение момента, в который процесс достигает нулевого значения, зависит от таких функций параметров модели, как гармоническое число и остаточный член логарифмической функции в разложении Тейлора. В качестве основного результата предлагается метод математического моделирования систем точно-в-срок и окон уязвимости. Используемый здесь семимартингальный метод описания следует рассматривать как первый шаг такого моделирования, поскольку, являясь траекторным, он допускает диффузионные (в том числе немарковские) обобщения при построении стохастических моделей окон уязвимости и систем точно-в-срок. В настоящей работе получены утверждения для средних значений локального времени и моментов достижения процессами размножения и гибели заданного значения. Это позволило единообразно представить оценки для моделей системы точно-в-срок и для окон уязвимости (результат для которых представлен в форме предельной теоремы). Основные результаты сформулированы в виде теорем и лемм. Доказательства используют семимартингальные методы.