Random walks in random medium on ? and Lyapunov spectrum

Abstract

We consider a one-dimensional random walk with bounded steps in a stationary and ergodic random medium. We show that the algebraic structure of the random walk is given by geometrical invariants related to the description of a space of harmonic functions. We then prove a recurrence criterion similar to Key's Theorem [E.S. Key, Ann. Probab. 12 (2) (1984) 529] in terms of the sign of an intermediate Lyapunov exponent of a random matrix. We show that this exponent is simple and we relate it to the dominant exponents of two non-negative matrices associated to the random walks of left and right records. We also give an algorithm to compute that exponent. In a last part, we deduce from [J. Brémont, Ann. Probab. 30 (3) (2002) 1266] that the Law of Large Numbers is always valid. Nous considérons une marche aléatoire unidimensionnelle à pas bornés en milieu aléatoire stationnaire ergodique. Nous montrons que la structure algébrique de la marche aléatoire est donnée par des invariants géométriques liés à la description d'un espace de fonctions harmoniques. Nous donnons ensuite un critère de récurrence du même type que celui de Key [E.S. Key, Ann. Probab. 12 (2) (1984) 529], en fonction du signe d'un exposant de Lyapunov intermédiaire d'une matrice aléatoire. Nous prouvons que cet exposant est simple et nous le relions aux exposants maximaux de deux matrices positives associées aux marches des records à gauche et à droite. Nous donnons aussi un algorithme pour calculer cet exposant. Dans une dernière partie, nous déduisons de [J. Brémont, Ann. Probab. 30 (3) (2002) 1266] que la Loi des Grands Nombres est toujours vérifiée.