Martin boundary theory of some quantum random walks

Abstract

In this paper we define a general setting for Martin boundary theory associated to quantum random walks, and prove a representation theorem. We show that in the dual of a simply connected Lie subgroup of U ( n ), the extremal Martin boundary is homeomorphic to a sphere. Then, we investigate restriction of quantum random walks to Abelian subalgebras of group algebras, and establish a Ney–Spitzer theorem for an elementary random walk on the fusion algebra of SU ( n ), generalizing a previous result of Biane. We also consider the restriction of a quantum random walk on SU q ( n ) introduced by Izumi to two natural Abelian subalgebras, and relate the underlying Markov chains by classical probabilistic processes. This result generalizes a result of Biane. Dans cet article, nous définissons un cadre général pour la théorie de Martin associée à une large classe de marches au hasard sur le dual de groupes compacts, et établissons un théorème de représentation intégrale. Ensuite, nous montrons que dans le dual d'un sous-groupe de Lie simplement connexe de U ( n ), la frontière de Martin extremale est homéomorphe à une sphère. Nous nous concentrons alors sur la restriction de marches au hasard quantiques à certaines sous-algèbres Abéliennes d'algèbres de groupes, et établissons un théorème de Ney–Spitzer pour une marche au hasard “de Bernoulli” sur l'algèbre de fusion de SU ( n ). Nous considérons aussi la restriction d'une marche au hasard quantique introduite par Izumi à deux sous-algèbres abéliennes distinctes, et relions les chaı̂nes de Markov sous-jacentes par des procédés probabilistes classiques. Ce résultat généralise un résultat de Biane.