One application on hypergeometic series and values of g-adic functions algebraic independence investigation methods

Aleksei Sergeevich Samsonov

doi:10.22405/2226-8383-2021-22-2-528-535

Abstract

The article takes a look at transcendence and algebraic independence problems, introduces statements and proofs of theorems for some kinds of elements from direct product of 𝑝-adic fields and polynomial estimation theorem. Let Q𝑝 be the 𝑝-adic completion of Q, Ω𝑝 be the completion of the algebraic closure of Q𝑝, 𝑔 = 𝑝1𝑝2 . . . 𝑝𝑛 be a composition of separate prime numbers, Q𝑔 be the 𝑔-adic completion of Q, in other words Q𝑝1 ⊕. . .⊕Q𝑝𝑛. The ring Ω𝑔 ∼=Ω𝑝1⊕...⊕Ω𝑝𝑛, a subring Q𝑔, transcendence and algebraic independence over Q𝑔 are under consideration. Also, hypergeometric series $$𝑓(𝑧) =∞Σ𝑗=0((𝛾1)𝑗 . . . (𝛾𝑟)𝑗)/((𝛽1)𝑗 . . . (𝛽𝑠)𝑗)(𝑧𝑡)^𝑡𝑗 $$, and their formal derivatives are under consideration. Sufficient conditions are obtained under which the values of the series 𝑓(𝛼) and formal derivatives satisfy global relation of algebraic independence, if 𝛼 =∞Σ𝑗=0 𝑎_𝑗𝑔^(𝑟_𝑗), where 𝑎𝑗 ∈ Z𝑔, and non-negative rationals 𝑟𝑗 increase strictly unbounded.

Highlights

Для g-адических чисел используются следующие обозначения: g = p1 . . . pn — произведение различных простых чисел, Zg — кольцо целых g-адических чисел, |x|g — g-адическая псевдонорма; Qg — кольцо g-адических чисел, пополнение множества рациональных чисел по g-адической псевдонорме; построено кольцо Ωg — расширение кольца Qg, Ωg ∼= Ωp1 ⊕ . . . ⊕ Ωpn
The article takes a look at transcendence
Let Qp be the p-adic completion of Q

Summary

Основные понятия и определения

Продолжение изоморфизма Ψ, которое мы построим, будет отображать элементы Кольцо Ωg содержит Qg в качестве подкольца. ⊕ Ωpn → Ωg и продолжение обратного изоморфизма Φ : Ωg → Ωp1 ⊕ . В силу замечания 2 и определения 2, очевидно, что кольцо Ωg содержит Qg в качестве подкольца. Продолжение изоморфизма Ψ определим следующим образом, пусть Ψ отображает элемент Будем называть α глобально трансцендентным над Qg элементом Ωg, если для любого k ∈ {1, . Будем называть αi глобально алгебраически независимыми над Qg элементами Ωg, если для любого k ∈ {1, . Fn), будем назыj=0 вать глобально трансцендентным над Qg, если для любого k ∈ {1, . M, будем называть глобально алгебраически независимыми над Qg, если для любого k ∈ {1, .

Формулировка и доказательство теоремы

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ