Abstract
В настоящей работе получены примеры алгебраических тождеств между фундаментальнымиматрицами обобщённых гипергеометрических уравнений. В некоторых случаях эти тождествапорождают все алгебраические соотношения между компонентами решенийгипергеометрических уравнений.Обобщённые гипергеометрические функции (см. [1-5]) - это функции вида$${}_l\varphi_{q}(z)={}_l\varphi_{q}(\vec \nu;\vec\lambda;z)={}_{l+1}F_{q}\left(\left.{1,\nu_1,\dots,\nu_l\atop\lambda_1,\dots,\lambda_q}\right|z\right)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(\nu_1)_n\dots (\nu_l)_n}{(\lambda_1)_n\dots(\lambda_{q})_n} z^n,$$где $0\leqslant l\leqslant q$, $\; (\nu)_0=1, \; (\nu)_n=\nu(\nu+1)\dots (\nu+n-1)$,$\;\vec\nu=(\nu_1,\dots,\nu_l)\in {\mathbb C}^l$, $\;\vec \lambda\in({\mathbb C}\setminus{\mathbb Z^-})^q$.Функция ${}_l\varphi_{q}(\vec \nu;\vec\lambda;z)$ удовлетворяет(обобщённому) гипергеометрическому дифференциальному уравнению$${L}(\vec \nu;\vec\lambda;z)\;y =(\lambda_1-1)\dots(\lambda_q-1),$$где$${L}(\vec \nu;\vec\lambda;z)\equiv \left( \prod_{j=1}^q(\delta+\lambda_j-1)-z\prod_{k=1}^l(\delta+\nu_k) \right),\label{d1122} \quad \delta=z\frac{d}{dz}.$$В теории трансцендентных чисел одним из основных методов являетсяметод Зигеля-Шидловского (см. [4], [5]), которыйпозволяет доказывать трансцендентность и алгебраическую независимостьзначений целых функций некоторого класса, включающего в себяфункции ${}_l\varphi_{q}(\alpha z^{q-l})$, при условииалгебраической независимости этих функций над ${\mathbb C}(z)$.В статье [6] Ф. Бейкерсом, В. Браунвеллом и Г. Хекманом быливведены важные для установления алгебраической зависимости инезависимости функций понятия коградиентности и контрградиентностидифференциальных уравнений (фактически эти понятия возникли ранеев статье Е. Колчина [7]).Настоящая работа посвящена подробному доказательству и дальнейшемуразвитию результатов о коградиентности и контрградиентности,опубликованных в заметках [8] и [9]. В частности, уточняютсянекоторые результаты статьи [6].
Highlights
The examples of algebraic identities between solution matrices of generalized hypergeometric equations are found in paper
Об алгебраической независимости значений гипергеометрических Eфункций // Матем
Summary
Если Φ1, Φ2 — произвольные фундаментальные матрицы двух линейных однородных дифференциальных уравнений с коэффициентами из C(z) и выполняется одно из равенств. Фундаментальную систему решений уравнения L(⃗ν; ⃗λ; αzp) y = 0 при λi − λk ∈/ Z, i= k образуют, например, функции (следствие леммы 1). Из статей [6, 7], где введено это понятие, не было ясно, существует ли контрградиентность вообще и насколько она характерна для случая гипергеометрических уравнений. Если разности соответствующих параметров двух гипергеометрических функций являются целыми числами, то такие функции называются смежными или ассоциированными. Из [11, лемма 12] и [14] следует, что однородные линейные дифференциальные уравнения, соответствующие уравнениям, которым удовлетворяют смежные функции, являются коградиентными. В следующей теореме решается вопрос о том, возможны ли коградиентность или контрградиентность гипергеометрических уравнений при несовпадающих l. ⃗λ1 − λ1,j ∼ ±2(⃗λ2 − λ2,1), 1 j 2, 2ν1,1 − λ1,1 − λ1,2 ∈ Z, являются коградиентными и контрградиентными
Sign-in/Register to view highlights & summary Sign-in/Register to access full text options 
Free) 
Talk to us
Join us for a 30 min session where you can share your feedback and ask us any queries you have
Schedule a call
