Арифметические свойства элементов прямых произведений p-адических полей

Abstract

В статье рассматриваются вопросы трансцендентности и алгебраической независимости,формулируются и доказываются теоремы длянекоторых элементов прямых произведений $p$-адических полей, а также,теорема об оценке многочлена от таких элементов.Пусть $\mathbb{Q}_p$~--- пополнение $\mathbb{Q}$ по$p$-адической норме, поле $\Omega_{p}$~--- пополнение алгебраического замыкания $\mathbb{Q}_p$,$g=p_1p_2\ldots p_n$~--- произведение различных простых чисел,а пополнение $\mathbb{Q}$ по $g$-адической псевдонормеэто кольцо $\mathbb{Q}_g$, иными словами $\mathbb{Q}_{p_1}\oplus\ldots\oplus\mathbb{Q}_{p_n}$.Рассматривается кольцо $\Omega_g\cong\Omega_{p_1}\oplus\ldots\oplus\Omega_{p_n}$,содержащее $\mathbb{Q}_g$ в качестве подкольца. Вопросы о трансцендентности и алгебраическойнезависимости над $\mathbb{Q}_g$ элементов $\Omega_g$ привели к результатам полученным в статье.При соблюдении некоторых условий можно делать соответствующие выводы для чисел вида$\alpha=\sum\limits_{j=0}^{\infty}a_{j}g^{r_{j}},\;\text{где}\;a_{j}\in \mathbb Z_g,$а неотрицательные рациональные числа $r_{j}$ образуют возрастающую истремящуюся к $+\infty$ при $j\rightarrow +\infty$ последовательность.