On the sizes of trees in a Galton-Watson forest with infinite variance in the critical case

Abstract

Рассматриваются леса Гальтона - Ватсона, образованные начинающимся с $N$ частиц критическим ветвящимся процессом, общее число потомков которых равно $n$ за все время эволюции. Число непосредственных потомков каждой частицы имеет распределение \begin{equation*}p_k=\frac{h(k+1)}{(k+1)^\tau}, \qquad k=0,1,2, …, \quad \tau\in (2,3),\end{equation*} где $h(k)$ - медленно меняющаяся на бесконечности функция. Производящая функция этого распределения имеет вид \begin{equation*}U(z)=z+(1-z)^{\tau-1}L(1-z),\end{equation*} где $L(x)$ - медленно меняющаяся в нуле функция. Найдены предельные распределения числа деревьев заданного объема, если $N,n\rightarrow \infty$ так, что $n/N^{\tau-1} \rightarrow \infty$.