On a number of particles in a marked set of cells in a general allocation scheme

Abstract

В обобщенной схеме размещения $n$ частиц по $N$ ячейкам рассматривается случайная величина $\eta_{n,N}(K)$ - число частиц, которые попали в ячейки заданного множества, состоящего из $K$ ячеек. Показано, что если $n, K, N\to\infty$, то при одних условиях случайные величины $\eta_{n,N}(K)$ асимптотически нормальны, а при других условиях случайные величины $\eta_{n,N}(K)$ сходятся по распределению к пуассоновской случайной величине. В случае, когда $N\to\infty$, а $n$ фиксировано, указаны условия, при которых случайные величины $\eta_{n,N}(K)$ сходятся по распределению к биномиальной случайной величине с параметрами $n$ и $s=\frac{K}{N}$, $0<K<N$, умноженной на целочисленный коэффициент. Показано, что если для обобщенной схемы размещения $n$ частиц по $N$ ячейкам со случайными величинами, имеющими распределение степенного ряда, определенное функцией $B(\beta)=\ln(1-\beta)$, выполняются условия $n,N,K\to\infty$, $\frac{K}{N}\to s$, $N=\gamma\ln(n)+o(\ln(n))$, где $0< s<1$, $0<\gamma<\infty$, то распределения случайных величин $\frac{\eta_{n,N}(K)}{n}$ сходятся к бета-распределению с параметрами $s\gamma$, $(1-s)\gamma$.