MÉTODOS DE DIFERENÇAS FINITAS DE ALTA ORDEM PARA O PROBLEMA DE HELMHOLTZ

Abstract

Classicamente aproximacoes por diferencas finitas sao obtidas via expansoes em serie de Taylor. Propomos uma metodologia que faz uso de funcoes, sejam polinomiais ou nao polinomiais, para a construcao de aproximacoes por diferencas finitas de diferentes ordens. Usando-se a base polinomial de monomios naturais em malhas uniformes constata-se que esta estrategia gera a mesma aproximacao de 5 pontos de diferencas para o problema de Helmholtz. Porem, diferentemente das formulacoes usuais, esta metodologia e aplicavel em malhas nao-uniformes. Alternativamente, funcoes nao polinomiais sao utilizadas para a gerar metodos de alta ordem. Neste trabalho utilizamos bases radiais compostas pelas funcoes de Bessel de primeiro tipo e ordem zero para gerar aproximacoes para a equacao de Helmholtz em malhas uniformes e nao-uniformes. Este procedimento conduz a aproximacoes identicas as obtidas com o Quasi Optimal Finite Difference method (QOFD) introduzido por Fernandes e Loula (International Journal for Numerical Methods in Engineering. 2010; 82:1244-1281). Para malhas uniformes com stencils compactos de nove pontos provamos que esta metodologia conduz a uma aproximacao de sexta ordem. Neste caso a obtencao dos resultados e simplificada, sem a necessidade de introducao de um funcional associado ao erro de truncamento como ocorre no metodo QOFD. Resultados numericos sao apresentados, comprovando as ordens de convergencia das aproximacoes. Keywords: Diferencas Finitas, Malhas nao estruturadas, Helmholtz, Metodo de poluicao minima.