Chebyshev-type inequalities and large deviation principles

Abstract

Пусть $\xi_1,\xi_2,…$ - последовательность независимых копий случайной величины $\xi$, $$ S_n=\sum_{j=1}^n\xi_j, \qquad A(\lambda)=\ln\mathbf{E}e^{\lambda\xi}, $$ $\Lambda(\alpha)=\sup_\lambda(\alpha\lambda-A(\lambda))$ есть преобразование Лежандра над функцией $A(\lambda)$. В настоящей работе, которая носит отчасти обзорный характер, рассматриваются обобщения известных экспоненциальных неравенств чебышeвского типа $$ \mathbf{P}(S_n\geq\alpha n)\leq\exp\{-n\Lambda(\alpha)\}\quad при \alpha\geq\mathbf{E}\xi, $$ для следующих трех объектов: I. суммы случайных векторов; II. случайные процессы (траектории случайных блужданий); III. случайные поля, ассоциированные с графами Эрдeша-Реньи с весами. Показано, что эти обобщения позволяют получить неулучшаемые оценки сверху для вероятностей попадания в выпуклые множества, а также доказывать принципы больших уклонений для объектов, перечисленных в I-III.