Brownian disks and the Brownian snake

Abstract

Nous donnons une nouvelle construction des disques browniens, qui ont ete definis par Bettinelli et Miermont comme limites d’echelle de quadrangulations avec frontiere quand la taille de la frontiere tend vers l’infini. Notre methode est semblable a la construction de la carte brownienne, mais elle utilise la mesure d’excursion positive du serpent brownien introduite recemment. Cette mesure d’excursion implique un arbre aleatoire continu dont les sommets recoivent des labels positifs, qui correspondent aux distances depuis la frontiere dans notre approche du disque brownien. Nous donnons plusisurs applications de cette construction. En particulier, nous montrons que la mesure uniforme sur la frontiere peut etre obtenue comme limite de la mesure de volume (convenablement normalisee) sur un petit voisinage tubulaire de la frontiere. Nous montrons aussi que les composantes connexes du complementaire du filet brownien sont des disques browniens, comme cela est suggere dans le travail recent de Miller et Sheffield. Finalement, nous montrons que les composantes connexes du complementaire d’une boule centree au point distingue de la carte brownienne sont, conditionnellement a leurs volumes et leurs perimetres, des disques browniens independants.