Convergence of the free Boltzmann quadrangulation with simple boundary to the Brownian disk

Abstract

Nous démontrons que la quadrangulation de Boltzmann libre avec un bord simple de périmètre fixé, munie de sa métrique de graphe, de sa mesure d’aire naturelle, et du chemin qui décrit sa frontière, converge dans la limite d’échelle vers le disque brownien libre de Boltzmann. La topologie de cette convergence est celle de Gromov–Hausdorff–Prokhorov-uniforme (GHPU), qui est l’analogue naturel de la topologie de Gromov-Hausdroff pour des espaces métriques mesurés décorés par une courbe. Nous déduisons de cela qu’une quadrangulation aléatoire de la sphère, décorée par une marche aléatoire auto-évitante de longueur $2l$, converge en loi pour la topologie GHPU vers l’espace métrique mesuré et décoré par une courbe que l’on obtient en recollant ensemble deux disques browniens indépendants le long de leurs bords.