A functional limit theorem for irregular SDEs

Abstract

Soit $X_{1},X_{2},\ldots$ une suite de variables aleatoires independantes avec esperance $E(X_{i})=0$, et $Y^{N}_{k+1}=Y^{N}_{k}+a_{N}(Y^{N}_{k})X_{k+1}$ une marche aleatoire renormalisee avec une fonction $a_{N}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}_{+}$. On montre, sous certaines conditions legeres sur la loi de $X_{i}$, que l’on peut choisir le facteur $a_{N}$ d’une facon que $(Y^{N}_{\lfloor Nt\rfloor})_{t\in\mathbb{R}_{+}}$ converge en loi, quand $N$ tend vers l’infini, vers une diffusion $(M_{t})_{t\in\mathbb{R}_{+}}$ etant la solution d’une equation differentielle stochastique avec des coefficients irreguliers. A cet effet, nous plongeons la marche aleatoire renormalisee dans la diffusion $M$ par une suite de temps d’arret ayant un pas de temps avec esperance $1/N$.