Гипотеза о «заградительном ряде» для дзета-функций моноидов с экспоненциальной последовательностью простых

Н Н Добровольский,И Ю Реброва,Н М Добровольский,И Н Балаба,М Н Добровольский

doi:10.22405/2226-8383-2018-19-1-106-123

Н Н Добровольский, И Ю Реброва + Show 3 more

Open Access

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-19-1-106-123

Copy DOI

Abstract

В работе продолжено изучение нового класса рядов Дирихле — дзета-функции моноидов натуральных чисел. Прежде всего детально изучена дзета-функция ????(M(g)|a) геометрической прогресс М(q) с первым членом равным 1 и произвольным натуральным знаменателем q > 1, которая является простейшем моноидом натуральных чисел с однозначным разложением на простые элементы моноида. Для мероморфной функции ????(M(g)|a) = qa/qα -1, имеющей множество полюсовS(M(q)) ={2πikl/lnq│k ∈Z}получены представления:ζ(M(q)|α) = ∞ ∏︁ n=1(1 + α2 ln2 q 4π2n2 )︂−1 = 1 2 + 1 αlnq + ∞ ∑︁ n=1 2αlnq α2 ln2 q + 4n2π2 = = q α 2 αlnq 4π2 Γ(︂αilnq 2π )︂Γ(︂−αilnq 2π )︂.Для дзета-функции ζ(M(p~)|α) моноида M(p~) с конечным числом простых чиселp~ = (p1,...,pn) получено разложение в бесконечное произведениеζ(M(p~)|α) =P(p~)α 2 αnQ(p~)n ∏︁ ν=1∞ ∏︁ m=1(︂1 + α2 ln2 pν 4π2m2 )︂−1 ,где P(p~) = p1 ...pn, Q(p~) = lnp1 ...lnpn, и найдено функциональное уравнение ζ(M(p~)|−α) = (−1)n ζ(M(p~)|α) P(p~)α .Для моноида натуральных чисел M*(p~) = N · M−1(p~) с однозначным разложением на простые множители, состоящим из натуральных чисел n взаимно простых с P(p~) = p1 ...pn, и для эйлерово произведение P(M*(p~)|α), состоящего из сомножителей по всем простым числам отличным от p1,...,pn, найдено функциональное уравнение ζ(M*(p~)|α) = M(p~,α)ζ(M*(p~)|1−α), где M(p~,α) = M(α)· M1(p~,α) M1(p~,1−α) , M1(p~,α) = n ∏︁ ν=1(︂1− 1 pα ν)︂.Доказано, что для любого бесконечного множества простых P1 не существует аналитической функции равной lim n→∞ ζ(M(p~n)|α) на всей комплексной плоскости.Сформулирована гипотеза о заградительном ряде для любого экспоненциального множества PE простых чисел.В заключении рассмотрены актуальные задачи с дзета-функциями моноидов натуральных чисел, требующие дальнейшего исследования.

Highlights

Цель данной статьи сформулировать гипотезу, что не существует аналитического продолжения дзета-функции ζ(M (P E)|α) в левую полуплоскость σ 0 из-за наличия всюд
First of all, we study in detail the Zeta function ζ(M (q)|α) of geometric progress M (q) with the first term equal to 1 and an arbitrary natural denominator q > 1, which is the simplest monoid of natural numbers with a unique decomposition into simple elements of
Добровольский О моноидах натуральных чисел с однозначным разложением на простые элементы // Чебышевский сб

Summary

Введение

Гиперболическая дзета-функция решёток задаётся в правой полуплоскости α > 1 дзета рядом ζ (Λ|α). Среди всех моноидов натуральных чисел особое место занимают моноиды с однозначным разложением на простые элементы, так как именно для них имеет место разложение дзета-функциях моноида в эйлерово произведение. Из формулы (5) следует, что дзета-функция геометрической прогрессии аналитическая функция во всей α-плоскости кроме точек α0 = 0, где у неё простой полюс с вычетом. Что ζ(M (q)|α) — мероморфная функция на комплексной α-плоскости, которая имеет следующее разложение в бесконечное произведение α α2 ln q )︂−1 ζ(M (q)|α) = α ln q. Для дзета-функции геометрической прогрессии легко найти функциональное уравнение. И так, теорема Миттаг–Леффлера для дзета-функции геометрической прогрессии записывается следующим образом: 3. Из формулы (9) сразу следует, что дзета-функция геометрической прогрессии имеет полюса в точках α. Также из формулы (9) сразу следует функциональное уравнение для дзета-функции геометрической прогрессии:.

Дзета-функция моноида с конечным числом простых чисел

Множитель Римана и модифицированный множитель Римана

Экспоненциальная последовательность простых чисел

Заключение