Abstract
Рассматривается класс рядов Дирихле с мультипликативными коэффициентами, определяющих функции, регулярные в правой полуплоскости комплексной плоскости и допускающие аппроксимацию полиномами Дирихле в критической полосе. Показано, что условие регулярности на мнимой оси позволяет аналитически продолжить такие ряды как целые функции на комплексную плоскость.В основе доказательсва этого факта лежат свойства аппроцксимационных полиномов Дирихле и идеи Римана-Шварца, заложенные в принципе симметрии аналитического продолжения функций комплексного переменного. Указан класс рядов Дирихле, для которых выполняется условие аналитичности на мнимой оси.Нужно отметить, что полученный в работе результат имеет непосредственное отношение к решению известной проблемы обобщенных характеров, поставленной Ю. В. Линником и Н. Г. Чудаковым в 1950м году.Указанный в работе подход в задаче аналитического продолжения рядов Дирихле с числовыми характерами допускает обобщение на ряды Дирихле с характерами числовых полей. Это позвволяет получить аналитическое продолжение не используя функциональное уравнение L-функций Дирихле числовых полей на комплексную плоскость.Отметим также, что изучаемому в работе классу рядов Дирихле принадлежат и ряды Дирихле, коэффициенты которых определяются неглавными обобщенными характерами. Можно показать, что для этих рядов выполняется условие аналитического продолжения. Еще в 1984 году В. Н. Кузнецов показал, что в случае аналитического продолжения таких рядов целым образом на комплексную плоскость с определенным порядком роста модуля, то будет иметь место гипотеза Н. Г. Чудакова о том, что обобщенный характер является характером Дирихле. Но окончательное решение проблемы обобщенных характеров, поставленной в 1950м году Ю. В. Линником и Н. Г. Чудаковым, будет приведено в следующих работах авторов.
Highlights
The paper considers the class of Dirichlet series with multiplicative coefficients defining Functions
It is shown that the regularity condition on the imaginary axis allows one to analytically continue such series
The proof of this fact is based on the properties of approximation Dirichlet polynomials
Summary
|Sn(s) − Qn(s)| < C3 · ε, что в силу (8) доказывает утверждение леммы 3. В силу леммы 3 существует n1, что для любого n ≥ n1 для всех точек полуплоскости σ ≥ σ0. Но как будет видно из дальнейших рассуждений это свойство не позволяет воспользоваться идеями Римана-Шварца для задачи аналитического продолжения рядов Дирихле (1). Где Ψk(wk) = 0, Ψ′k(Wk) > 0, и где DRk — круг радиусом Rk, равного конформному радиусу области Dk относительно точки Sk. Отображением (11) и (12) определяют конформное отображение Φk. 55 показано, что Rk > dsk , где dsk — расстояние от точки Sk до границы области Dk. Таким образом, в нашем случае выполняется условие. 432) последовательность конформных отображений (15) равномерно сходится на любом замкнутом ограниченном подмножестве полуплоскости D : σ > 1, к функции Ψ(s), конформно отображающий эту полуплоскость на единичной круг. Пусть s0 — внутренняя точка полуплоскости D и s*0 симметричная ей относительно прямой σ
Sign-in/Register to view highlights & summary Talk to us
Join us for a 30 min session where you can share your feedback and ask us any queries you have
Schedule a callDisclaimer: All third-party content on this website/platform is and will remain the property of their respective owners and is provided on "as is" basis without any warranties, express or implied. Use of third-party content does not indicate any affiliation, sponsorship with or endorsement by them. Any references to third-party content is to identify the corresponding services and shall be considered fair use under The CopyrightLaw.
