Аналог теоремы даффина-шеффера для одного класса рядов дирихле с конечнозначными коэффициэнтами

О. А. Матвеева,В. Н. Кузнецов

doi:10.22405/2226-8383-2018-19-4-243-251

Abstract

Известная теорема, доказанная Доффиным и Шеффером, утверждает, что ограниченность степенного ряда с конечнозначными коэффициентами в некотором секторе единичного круга равносильна периодичности его коэффициентов, начиная с некоторого номера. В работе указывается класс рядов Дирихле с конечнозначными коэффициентами, ограниченными в любой полосе правой полуплоскости комплексной плоскости константой, зависящей только от высоты полосы, для которых доказан аналог теоремы ДаффинаШеффера. Ранее аналог теоремы Даффина-Шеффера был получен авторами для рядов Дирихле с мультипликативными коэффициентами. Методика доказательства этого результата позволила, в частности, решить известную проблему обобщенных характеров, поставленную в 1950 году Ю.В. Линником и Н.Г. Чудаковым. В данной работе эта методика использована при доказательстве аналога ДаффинаШеффера для указанного класса рядов Дирихле с мультипликативными коэффициентами.

Highlights

Лемма 6 Для любого σ0 > 1 существует n0, что при n ≥ n0 производные аппроксимационных полиномов вида (4) не имеют нулей в полуплоскости σ ≥ σ0
Свойство 4. рядов Дирихле (1) позволяет утверждать, что частичные суммы Sn(x) ряда Дирихле при n ≥ n1 не имеют нулей в полуплоскости σ ≥ σ0
Этот факт позволяет перенести доказательство леммы 4 работы [8] на наш случай и доказать, что аппроксимационные полиномы Qn(s) вида (4) при n ≥ n0 не имеет нулей в полуплоскости σ ≥ σ0

Summary

Introduction

Для любой полосы: 0 < σ0 ≤ σ < ∞, |t| ≤ T, существует такое n1, что при n ≥ n1 нормы полиномов Qn(s) ограничены константы, зависящий только от величины T . В этих работах показано, что для ограниченных коэффициентов рядов Дирихле существует последовательность аппроксимационных полиномов вида ak rnk ks k=1 где величина rn, 0 < rn < 1 своя для каждого n. Что в силу определения аппроксимационных полиномов функция f (s), определенная рядом Дирихле (1), в любой полосе: 0 < σ < ∞, |t| ≤ T ограничена константой, зависящей только от T .

Results

Conclusion