Abstract
Багато прикладних задач, наприклад для проектування радіоелектронних схем, автоматичних систем управління, розрахунку динаміки механічних систем, задачі хімічної кінетики загалом зводяться до розв'язування нелінійних диференціальних рівнянь і їх систем. Точні розв'язки досліджуваних задач можна отримати лише в окремих випадках. Тому потрібно використовувати наближені методи. Під час дослідження математичних моделей виникає потреба знаходити не тільки наближений розв'язок, але й гарантовану оцінку похибки результату. Використання традиційних двосторонніх методів Рунге-Кутта призводить до істотного збільшення обсягу обчислень. Ланцюгові (неперервні) дроби набули широкого застосування у прикладній математиці, оскільки вони за відповідних умов дають високу швидкість збіжності, монотонні та двосторонні наближення, мають слабку чутливість до похибки заокруглення. У роботі виведено методи типу Рунге-Кутта третього порядку точності для розв'язування початкової задачі для звичайних диференціальних рівнянь, що базуються на неперервних дробах. Характерною особливістю таких алгоритмів є те, що за певних значень відповідних параметрів можна отримати як нові, так і традиційні однокрокові методи розв'язання задачі Коші. Запропоновано розрахункові формули другого порядку точності, які на кожному кроці інтегрування дають змогу без додаткових звертань до правої частини диференціального рівняння отримати не тільки верхні та нижні наближення до точного розв'язку, а також дають інформацію про величину головного члена локальної похибки. Для практичної оцінки похибки на кожному кроці інтегрування у разі використання односторонніх формул типу Рунге-Кутта порядку p застосовують двосторонні обчислювальні формули порядку (p–1). Зауважимо, що використовуючи запропоновані розрахункові формули в кожному вузлі сітки будуть отримані декілька наближень до точного розв'язку, порівняння яких дає корисну інформацію, зокрема в питанні вибору кроку інтегрування, або в оцінці точності результату.
Highlights
оскільки вони за відповідних умов дають високу швидкість збіжності
in the general case are reduced to solving nonlinear differential equations
The order of the system of differential equations depends on the selected model
Summary
Рунге-Кутта третього порядку точності й двосторонніх методів другого порядку точності, що базуються на неперервних дробах і їх застосування для дослідження математичної моделі кінетики адсорбції речовин пористими адсорбентами. Ці формули дають змогу будувати як явні ( βij = 0, при i ≤ j ), так і неявні числові методи. (6) описують як явні (при βij = 0, якщо i ≤ j ), так і неявні традиційні методи Рунге-Кутта такого вигляду: yn+1 = yn + h(a11k1 + a12k2 + a13k3),. 2. Значення параметрів для явних методів α i β ij aij. Коефіцієнти для явних методів ( βij = 0, якщо i≤j α1 = 0 ) мають три сімейства розв'язків: 1) Якщо α2. Якщо покласти aij = 0 для i ≤ j отримаємо відповідно такі значення параметрів Для цього розглянемо формули (5)-(6) при k = 3, l = 0 і i −1 αi = ∑ βij , (i = 1, 2,3). C∞ − Ca де: C∞ – адсорбована ємність (концентрація адсорбованої речовини, яка була б при C → ∞ ); C1 – концентрація речовини, за якої в адсорбованій фазі досягається місткість
Sign-in/Register to view highlights & summary Talk to us
Join us for a 30 min session where you can share your feedback and ask us any queries you have
Schedule a callDisclaimer: All third-party content on this website/platform is and will remain the property of their respective owners and is provided on "as is" basis without any warranties, express or implied. Use of third-party content does not indicate any affiliation, sponsorship with or endorsement by them. Any references to third-party content is to identify the corresponding services and shall be considered fair use under The CopyrightLaw.
