Линейные обратные задачи для вырожденного эволюционного уравнения с производной Герасимова–Капуто в секториальном случае

Abstract

Исследуется однозначная разрешимость линейных обратных задач с независящим от времени неизвестным коэффициентом для эволюционного уравнения в банаховом пространстве с вырожденным оператором при дробной производной Герасимова-Капуто. Предполагается, что пара операторов в уравнении (при дробной производной и при искомой функции) порождает разрешающее семейство операторов соответствующего вырожденного линейного однородного уравнения дробного порядка. Исходная задача редуцирована к системе двух задач: задача для алгебраического уравнения на подпространстве вырождения исходного уравнения и задача для уравнения, разрешенного относительно дробной производной, на дополнении к подпространству вырождения. Продемонстрировано два подхода. Первый из них предполагает исследование обратной задачи для разрешенного относительно производной уравнения и прямой задачи для алгебраического уравнения. При осуществлении второго подхода сначала исследуется обратная задача для уравнения на подпространстве вырождения, после чего исследуется прямая задача для второго уравнения. Абстрактные результаты использованы при исследовании начально-краевых задач для одного класса уравнений в частных производных дробного порядка по времени с неизвестным коэффициентом, зависящим от пространственных переменных. We investigate the unique solvability of linear inverse problems for the evolution equation in a Banach space with a degenerate operator at the fractional Gerasimov-Caputo derivative and with a time-independent unknown coefficient. It is assumed that a pair of operators in the equation (at the unknown function and at its fractional derivative) generates a family of resolving operators of the corresponding degenerate linear homogeneous equation of the fractional order. The original problem is reduced to a system of two problems: the problem for an algebraic equation on the degeneration subspace of the original equation and the problem for the equation solved with respect to the fractional derivative, on the complement to the degeneration subspace. Two approaches are demonstrated. The first involves the study of the inverse problem for the equation solved with respect to the derivative and the direct problem for the algebraic equation. In the second approach, the inverse problem for the equation on the degeneration subspace is investigated firstly, then the direct problem for the second equation is researched. Abstract results are used to study initial-boundary value problems for a class of time-fractional order partial differential equations with an unknown coefficient depending on the spatial variables.