Noncommutative Algebra Research Articles

Структура конечной групповой алгебры одного полупрямого произведения абелевых групп и её приложения

В 1978 году Р. Мак-Элисом построена первая асимметричная кодовая криптосистема, основанная на применении помехоустойчивых кодов Гоппы, при этом эффективные атаки на секретный ключ этой криптосистемы до сих пор не найдены. К настоящему времени известно много криптосистем, основанных на теории помехоустойчивого кодирования. Одним из способов построения таких криптосистем является модификация криптосистемы Мак-Элиса с помощью замены кодов Гоппы на другие классы кодов. Однако, известно что криптографическая стойкость многих таких модификаций уступает стойкости классической криптосистемы Мак-Элиса. В связи с развитием квантовых вычислений кодовые криптосистемы, наряду с криптосистемамми на решётках, рассматриваются как альтернатива теоретико-числовым. Поэтому актуальна задача поиска перспективных классов кодов, применимых в криптографии. Представляется, что для этого можно использовать некоммутативные групповые коды, т.е. левые идеалы в конечных некоммутативных групповых алгебрах.Для исследования некоммутативных групповых кодов полезной является теорема Веддерберна, доказывающая существование изоморфизма групповой алгебры на прямую сумму матричных алгебр. Однако конкретный вид слагаемых и конструкция изоморфизма этой теоремой не определены, и поэтому для каждой группы стоит задача конструктивного описания разложения Веддерберна. Это разложение позволяет легко получить все левые идеалы групповой алгебры, т.е. групповые коды. В работе рассматривается полупрямое произведение $$Q_{m,n} = (\mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n) \leftthreetimes (\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2)$$ абелевых групп и конечная групповая алгебра $$\mathbb{F}_q Q_{m,n}$$ этой группы. Для этой алгебры при условиях $$n \mid q -1$$ и $$\text{НОД}(2mn, q) = 1$$ построено разложение Веддербёрна. В случае поля чётной характеристики, когда эта групповая алгебра не является полупростой, также получена сходная структурная теорема. Описаны все неразложимые центральные идемпотенты этой групповой алгебры. Полученные результаты используются для алгебраического описания всех групповых кодов над $$Q_{m,n}.$$

A quantum Mirković-Vybornov isomorphism

We present a quantization of an isomorphism of Mirković and Vybornov which relates the intersection of a Slodowy slice and a nilpotent orbit closure in g l N \mathfrak {gl}_N to a slice between spherical Schubert varieties in the affine Grassmannian of P G L n PGL_n (with weights encoded by the Jordan types of the nilpotent orbits). A quantization of the former variety is provided by a parabolic W-algebra and of the latter by a truncated shifted Yangian. Building on earlier work of Brundan and Kleshchev, we define an explicit isomorphism between these non-commutative algebras and show that its classical limit is a variation of the original isomorphism of Mirković and Vybornov. As a corollary, we deduce that the W-algebra is free as a left (or right) module over its Gelfand-Tsetlin subalgebra, as conjectured by Futorny, Molev, and Ovsienko.

Co-Toeplitz operators and their associated quantization

We define co-Toeplitz operators, a new class of Hilbert space operators, in order to define a co-Toeplitz quantization scheme that is dual to the Toeplitz quantization scheme introduced by the author in the setting of symbols that come from a possibly non-commutative algebra with unit. In the present dual setting the symbols come from a possibly non-co-commutative co-algebra with co-unit. However, this co-Toeplitz quantization is a usual quantization scheme in the sense that to each symbol we assign a densely defined linear operator acting in a fixed Hilbert space. Creation and annihilation operators are also introduced as certain types of co-Toeplitz operators, and then their commutation relations provide the way for introducing Planck’s constant into this theory. The domain of the co-Toeplitz quantization is then extended as well to a set of co-symbols, which are the linear functionals defined on the co-algebra. A detailed example based on the quantum group (and hence co-algebra) $$SU_q(2)$$ as symbol space is presented.

Quantum mirrors of log Calabi–Yau surfaces and higher-genus curve counting

Gross, Hacking and Keel have constructed mirrors of log Calabi–Yau surfaces in terms of counts of rational curves. Using $q$-deformed scattering diagrams defined in terms of higher-genus log Gromov–Witten invariants, we construct deformation quantizations of these mirrors and we produce canonical bases of the corresponding non-commutative algebras of functions.

Candidate for practical post-quantum signature scheme

A new criterion of post-quantum security is used to design a practical signature scheme based on the computational complexity of the hidden discrete logarithm problem. A 4-dimensional finite non-commutative associative algebra is applied as algebraic support of the cryptoscheme. The criterion is formulated as computational intractability of the task of constructing a periodic function containing a period depending on the discrete logarithm value. To meet the criterion, the hidden commutative group possessing the 2-dimensional cyclicity is exploited in the developed signature scheme. The public-key elements are computed depending on two vectors that are generators of two different cyclic groups contained in the hidden group. When computing the public key two types of masking operations are used: i) possessing the property of mutual commutativity with the exponentiation operation and ii) being free of such property. The signature represents two integers and one vector S used as a multiplier in the verification equation. To prevent attacks using the value S as a fitting element the signature verification equation is doubled.

ROOTED TREE MAPS AND THE KAWASHIMA RELATIONS FOR MULTIPLE ZETA VALUES

Recently, inspired by the Connes-Kreimer Hopf algebra of rooted trees, the second named author introduced rooted tree maps as a family of linear maps on the noncommutative polynomial algebra in two letters. These give a class of relations among multiple zeta values, which are known to be a subclass of the so-called linear part of the Kawashima relations. In this paper we show the opposite implication, that is the linear part of the Kawashima relations is implied by the relations coming from rooted tree maps.

A New Method for Designing Post-Quantum Signature Schemes

The current standards of the digital signature algorithms are based on computational difficulty of the discrete logarithm and factorization problems. Expected appearance in near future of the quantum computer that is able to solve in polynomial time each of the said computational puts forward the actual task of the development of the post-quantum signature algorithms that resist the attacks using the quantum computers. Recently, the signature schemes based on the hidden discrete logarithm problem set in finite non-commutative associative algebras had been proposed. The paper is devoted to a further development of this approach and introduces a new practical post-quantum signature scheme possessing small size of public key and signature. The main contribution of the paper is the developed new method for defining the hidden discrete logarithm problem that allows applying the finite commutative groups as algebraic support of the post-quantum digital signature schemes. The method uses idea of applying multipliers that mask the periodicity connected with the value of discrete logarithm of periodic functions set on the base of the public parameters of the signature scheme. The finite 4-dimensional commutative associative algebra the multiplicative group of which possesses 4-dimensional cyclicity is used as algebraic support of the developed signature scheme.

Dual Jacobsthal ve Dual Jacobsthal-Lucas Sedeniyonlar Üzerine

The sedenions form a 16-dimensional non-associative and non-commutative algebra over the set of . . The main object of this paper is to present a systematic investigation of new classes of sedenion numbers associated with the familiar Jacobsthal numbers. The various results obtained here for these classes of sedenion numbers include recurrence relations, Binet formula, generating function, exponentinal generating functions, poisson generating functions and also we presented the Cassini identity, Catalan’s identities and d’Ocagne’s identity by their Binet forms

Hamiltonian operators and related differential-algebraic Balinsky-Novikov, Riemann and Leibniz type structures on nonassociative noncommutative algebras

We review main differential-algebraic structures \ lying in background of \ analytical constructing multi-component Hamiltonian operators as derivatives on suitably constructed loop Lie algebras, generated by nonassociative noncommutative algebras. The related Balinsky-Novikov and \ Leibniz type algebraic structures are derived, a new nonassociative "Riemann" algebra is constructed, deeply related with infinite multi-component Riemann type integrable hierarchies. An approach, based on the classical Lie-Poisson structure on coadjoint orbits, closely related with those, analyzed in the present work and allowing effectively enough construction of Hamiltonian operators, is also briefly revisited. \ As the compatible Hamiltonian operators are constructed by means of suitable central extentions of the adjacent weak Lie algebras, generated by the right Leibniz and Riemann type nonassociative and noncommutative algebras, the problem of their description requires a detailed investigation both of their structural properties and finite-dimensional representations of the right Leibniz algebras defined by the corresponding structural constraints. \ Subject to these important aspects we stop in the work mostly on the structural properties of the right Leibniz algebras, especially on their derivation algebras and their generalizations. We have also added a short Supplement within which we \ revisited \ the classical Poisson manifold approach, closely related to our construction of \ Hamiltonian operators, generated by nonassociative and noncommutative algebras. In particular, \ we presented its natural and simple generalization allowing effectively to describe a wide class\ of Lax type integrable nonlinear Kontsevich type Hamiltonian systems on associative noncommutative algebras.

Algebras of noncommutative functions on subvarieties of the noncommutative ball: The bounded and completely bounded isomorphism problem

Given a noncommutative (nc) variety V in the nc unit ball Bd, we consider the algebra H∞(V) of bounded nc holomorphic functions on V. We investigate the problem of when two algebras H∞(V) and H∞(W) are isomorphic. We prove that these algebras are weak-⁎ continuously isomorphic if and only if there is an nc biholomorphism G:W˜→V˜ between the similarity envelopes that is bi-Lipschitz with respect to the free pseudo-hyperbolic metric. Moreover, such an isomorphism always has the form f↦f∘G, where G is an nc biholomorphism. These results also shed some new light on automorphisms of the noncommutative analytic Toeplitz algebras H∞(Bd) studied by Davidson–Pitts and by Popescu. In particular, we find that Aut(H∞(Bd)) is a proper subgroup of Aut(B˜d).When d<∞ and the varieties are homogeneous, we remove the weak-⁎ continuity assumption, showing that two such algebras are boundedly isomorphic if and only if there is a bi-Lipschitz nc biholomorphism between the similarity envelopes of the nc varieties. We provide two proofs. In the noncommutative setting, our main tool is the noncommutative spectral radius, about which we prove several new results. In the free commutative case, we use a new free commutative Nullstellensatz that allows us to bootstrap techniques from the fully commutative case.

ПОВЫШЕНИЕ ЭНЕРГОЭФФЕКТИВНОСТИ ПРОИЗВОДСТВА ЗА СЧЕТ ПРИМЕНЕНИЯ СИЛОВЫХ ФИЛЬТРОВ ВЫСШИХ ГАРМОНИК

Актуальность. В настоящее время все большее количество технологических процессов и производств в нефтегазовой отрасли реализуется на базе высокопроизводительного оборудования с полупроводниковыми преобразователями электрической энергии, в число которых, например, входят частотно-регулируемые электроприводы переменного тока или бесперебойные источники питания, которые относятся к классу нелинейных нагрузок и могут вызывать большое количество негативных явлений в работе распределительных сетей, включающих в себя несимметрию фазных напряжений и токов, резонансные процессы, тепловые потери в нейтральном проводе, перегрев двигателей и трансформаторов и т. д. Для улучшения электромагнитной совместимости различного рода электроприемников в составе промышленных систем электроснабжения довольно часто используют пассивные конденсаторные батареи для коррекции коэффициента мощности, которые малоэффективны в случае нелинейных процессов. Кроме этого, данный тип компенсационных устройств продолжает потреблять реактивную энергию при отсутствии каких-либо нагрузок и не удовлетворяет современным требованиям в области энергосбережения. Описанные выше недостатки в работе трехфазных систем переменного тока требуют разработки новых схемотехнических решений, методов анализа энергетических процессов и синтеза алгоритмов силовой фильтрации, позволяющих обеспечить нормированные показатели качества электрической энергии в распределительных сетях низкого и среднего классов напряжения вне зависимости от конкретного вида электрических цепей нагрузки. Цель исследования заключается в комплексном анализе существующих технических решений, направленных на повышение электромагнитной совместимости распределительных сетей, а также в описании основных ограничений в работе силовых фильтрокомпенсирующих устройств применительно к промышленным объектам минерально-сырьевого комплекса; в разработке базовых структур активных силовых фильтров с пониженными требованиями по производительности, объему памяти и быстродействию программно-аппаратной части системы управления, практическое применение которых обеспечивает нормированное качество электрической энергии при изменении режимов работы технологического оборудования или конфигурации питающей линии. Объекты: автономные или децентрализованные электроэнергетические системы переменного тока с преобразовательными устройствами силовой электроники и частотно-регулируемыми электроприводами, а также элементами силовой цепи с нелинейными характеристиками, например, реакторами или трансформаторами с насыщенными сердечниками, в которых присутствуют значительные искажения в мгновенной форме трехфазных сигналов; пассивные и активные силовые фильтры высших гармоник. Методы: некоммутативная алгебра кватернионов; четырехмерное гиперкомплексное пространство; методы спектрального анализа и разложения в ряд Фурье. Результат: краткий обзор различных подходов и технических средств к повышению качества электрической энергии в системах электроснабжения промышленных объектов минерально-сырьевого сектора, а также системы управления,рамках которых достигается синусоидальный закон изменения во времени сетевых токов с нулевым или опережающим/отстающим угловым сдвигом при одновременном соблюдении условия симметрии по мгновенным значениям.

Evolution of quantum observables: from non-commutativity to commutativity

A fundamental aspect of the quantum-to-classical limit is the transition from a non-commutative algebra of observables to commutative one. However, this transition is not possible if we only consider unitary evolutions. One way to describe this transition is to consider the Gamow vectors, which introduce exponential decays in the evolution. In this paper, we give two mathematical models in which this transition happens in the infinite time limit. In the first one, we consider operators acting on the space of the Gamow vectors, which represent quantum resonances. In the second one, we use an algebraic formalism from scattering theory. We construct a non-commuting algebra which commutes in the infinite time limit.

Noncommutative dynamical variables in magnetohydrodynamics algebraic structure

Magnetohydrodynamics (MHD) describes the behavior of a charged fluid in a strong magnetic field. One way to analyze noncommutativity in MHD is by considering the result of an eternal magnetic field on noncommutative (NC) photon dynamics. In this paper we have introduced a new MHD Lagrangian and we have obtained the Navier-Stokes MHD equation. We have constructed a NC algebra for the dynamical MHD variables and analyzed the mechanical energy variation rate together with the coupling between the vortex and magnetic field. We have calculated the rate of variation of circulation and analyzed each term. We have seen that these terms are connected to noncommutativity which can act as a source of vorticity.

О почти локально разрешимых алгебрах Ли с нулевым радикалом Джекобсона и локально нильпотентном радикале для алгебр Ли

В статье доказывается аналог теоремы Ф. Кубо [1] для почти локально разрешимых алгебр Ли с нулевым радикалом Джекобсона. Первый раздел направлен на выяснение некоторых аспектов гомологического описания радикала Джекобсона. Доказана теорема, обобщающая теорему Е. Маршалла на случай почти локально разрешимых алгебр Ли, следствием которой и является аналог теоремы Кубо. Во втором разделе исследуются некоторые свойства локально нильпотентного радикала алгебры Ли. Рассматриваются примитивные алгебры Ли. Приведены примеры, показывающие, что бесконечномерные коммутативные алгебры Ли являются примитивными над любыми полями; конечномерная абелева алгебра, размерности больше 1, над алгебраически замкнутым полем не является примитивной; пример неартиновой некоммутативной алгебры Ли являющейся примитивной. Показано, что для специальных алгебр Ли над полем характеристики нуль PI-неприводимо представленный радикал совпадает с локально нильпотентным. Приведен пример алгебры Ли, локально нильпотентный радикал которой не является ни локально нильпотентным, ни локально разрешимым. Даются достаточные условия примитивности алгебры Ли, приводятся примеры примитивных алгебр Ли и алгебры Ли не являющейся примитивной.

Coulomb branch quantization and abelianized monopole bubbling

We develop an approach to the study of Coulomb branch operators in 3D mathcal{N} = 4 gauge theories and the associated quantization structure of their Coulomb branches. This structure is encoded in a one-dimensional TQFT subsector of the full 3D theory, which we describe by combining several techniques and ideas. The answer takes the form of an associative and noncommutative star product algebra on the Coulomb branch. For “good” and “ugly” theories (according to the Gaiotto-Witten classification), we also exhibit a trace map on this algebra, which allows for the computation of correlation functions and, in particular, guarantees that the star product satisfies a truncation condition. This work extends previous work on abelian theories to the non-abelian case by quantifying the monopole bubbling that describes screening of GNO boundary conditions. In our approach, monopole bubbling is determined from the algebraic consistency of the OPE. This also yields a physical proof of the Bullimore-Dimofte-Gaiotto abelianization description of the Coulomb branch.

Noncommutative Boundaries Arising in Dynamics and Representations of the Cuntz Relations

In a number of recent papers, the idea of generalized boundaries has found use in fractal and in multiresolution analysis; many of the papers having a focus on specific examples. Parallel with this new insight, and motivated by quantum probability, there has also been much research which seeks to study fractal and multiresolution structures with the use of certain systems of noncommutative operators; noncommutative harmonic/stochastic analysis. This in turn entails combinatorial, graph operations, and branching laws. The most versatile, of these noncommutative algebras are the Cuntz algebras; denoted N for the number of isometry generators. N is at least 2. Our focus is on the representations of We aim to develop new noncommutative tools, involving both representation theory and stochastic processes. They serve to connect these parallel developments.In outline, boundaries, Poisson, or Martin, are certain measure spaces (often associated to random walk models), designed to encode the asymptotic behavior, e.g., how trajectories diverge when the number of steps goes to infinity. We stress that our present boundaries (commutative or noncommutative) are purely measure-theoretical objects. Although, as we show, in some cases our boundaries may be compared with more familiar topological boundaries.

The quadratic Poisson structures and related nonassociative noncommutative Zinbiel type algebras

There are studied algebraic properties of the quadratic Poisson brackets on nonassociative noncommutive algebras, compatible with their multiplicative structure. Their relations both with differentiations of the symmetric tensor algebras and Yang-Baxter structures on the adjacent Lie algebras are demonstrated. Special attention is payed to the quadtatic Poisson brackets of the Lie-Poisson type, the examples of the Novikov and Leibniz algebras are discused. The nonassociated structures of commutative algebras related with Novikov, Leibniz, Lie and Zinbiel algebras are studied in details

Graded tilting for gauged Landau–Ginzburg models and geometric applications

In this paper we develop a graded tilting theory for gauged Landau-Ginzburg models of regular sections in vector bundles over projective varieties. Our main theoretical result describes - under certain conditions - the bounded derived category of the zero locus $Z(s)$ of such a section $s$ as a graded singularity category of a non-commutative quotient algebra $\Lambda/\langle s\rangle$: $D^b(\mathrm{coh} Z(s))\simeq D^{\mathrm{gr}}_{\mathrm{sg}}(\Lambda/\langle s\rangle)$. Our geometric applications all come from homogeneous gauged linear sigma models. In this case $\Lambda$ is a non-commutative resolution of the invariant ring which defines the $\mathbb{C}^*$-equivariant affine GIT quotient of the model. We obtain purely algebraic descriptions of the derived categories of the following families of varieties: - Complete intersections. - Isotropic symplectic and orthogonal Grassmannians. - Beauville-Donagi IHS 4-folds.

Analysis in Noncommutative Algebras and Modules

In a previous paper, we developed an analysis in associative commutative algebras and in modules over them, which may be useful in problems of contemporary mathematical and theoretical physics. Here we work out similar methods in the noncommutative case.

Multiplicative primeness of strongly prime non-commutative Jordan algebras

We prove that the multiplication algebra of any strongly prime non-commutative Jordan algebra is a prime algebra.