Whitham modulation theory and dam-breaking problem under periodic solutions to the defocusing Hirota equation

Abstract

Для дефокусирующего уравнения Хироты, которое описывает распространение ультракоротких импульсов в оптических волокнах с дисперсией третьего порядка и эффектами самоусиления высшего порядка, изучаются модуляционная теория Уизема и одно из ее физических приложений - задача о разрушении плотины. Для получения решений используется подход конечнозонного интегрирования. Найдены периодические решения и обсуждается вырождение периодического решения рода один в солитонное решение. Кроме того, получены соответствующие уравнения Уизема для римановых инвариантов, которые можно использовать для модуляции периодических решений при ступенчатых начальных данных. Эти уравнения в пределе малой дисперсии представляют собой квазилинейные гиперболические уравнения и описывают усредненную динамику быстрых колебаний, называемых дисперсионными ударными волнами, которые возникают как решения дефокусирующего уравнения Хироты. Рассмотрен случай, когда характеристические скорости в уравнениях Уизема рода ноль равны нулю, а в качестве критических принимаются значения двух полученных римановых инвариантов. С использованием этих значений как ступенчатых исходных данных найдены и исследованы решения уравнений Уизема для волн разрежения и дисперсионных ударных волн. Для специальных ступенчатых начальных данных исследована точка, в которой в определенный момент времени сталкиваются две дисперсионные ударные волны рода один, т. е. точка, где возникает дисперсионная ударная волна рода два. Наконец, как важное физическое приложение модуляционной теории Уизема обсуждается задача о разрушении плотины.