Weak Lévy-Khintchine representation for weak infinite divisibility

Abstract

Случайный вектор ${\mathbf X}$ является слабо устойчивым тогда и только тогда, когда для всех $a,b \in{\mathbf R}$ существует такая случайная величина $\Theta$, что $a{\mathbf X} + b {\mathbf X}' \overset{d}{=} {\mathbf X} \Theta$, где $\mathbf X'$ - независимая копия $\mathbf X$ и $\Theta$ не зависит от $\mathbf X$. Это равносильно (см. [12]) условию, что для всех $Q_1, Q_2$ существует такая случайная величина $\Theta$, что \begin{equation} {\mathbf X} Q_1 + {\mathbf X}' Q_2 \overset{d}{=} {\mathbf X} \Theta, \tag{*} \label{eqast} \end{equation} где ${\mathbf X}, {\mathbf X}', Q_1, Q_2, \Theta$ независимы и $\overset{d}{=}$ означает равенство распределений. Мы определим слабую обобщенную свертку мер формулой $$ \mathscr{L}(Q_1) \otimes_{\mu} \mathscr{L}(Q_2) = \mathscr{L}(\Theta), $$ если уравнение \eqref{eqast} верно для ${\mathbf X}, Q_1, Q_2, \Theta$ и $\mu = \mathscr{L}(\mathbf X)$. В статье изучены основные свойства этой свертки и распределений, которые бесконечно делимы относительно этой свертки. Основной результат этой работы является аналогом представления Леви-Хинчина $\otimes_{\mu}$-бесконечно делимых распределений.