Abstract
Nonstandard analysis is a reformulation of mathematical analysis introduced in the 1960s, which allows for extending the system of real numbers so as to include infinitesimal and infinite numbers, and consequently simplify, at least at a first glance, many central notions of elementary calculus. Since then, various proposals have been formulated to introduce the teaching of nonstandard analysis in universities and in upper secondary schools. Even if proponents of such an approach maintain that concepts of nonstandard analysis are closer to intuition and easier to be understood and used, there is not a body of research to support such claims. This paper is meant to contribute to this discussion through reporting on the preliminary results of a pilot-study on student’s concept-images in nonstandard analysis.
Highlights
Abstract / Nonstandard analysis is a reformulation of mathematical analysis introduced in the 1960s, which allows for extending the system of real numbers so as to include infinitesimal and infinite numbers, and simplify, at least at a first glance, many central notions of elementary calculus
A partire dall'introduzione di un'estensione non archimedea di !, l'insieme dei numeri iperreali, che include numeri infiniti e numeri infinitesimi; i numeri infiniti, o più brevemente infiniti, sono numeri il cui valore assoluto è maggiore di qualsiasi numero reale positivo e i numeri infinitesimi, o più brevemente infinitesimi, sono numeri il cui valore assoluto è minore di qualsiasi numero reale positivo
In questo articolo abbiamo presentato e discusso i risultati preliminari di uno studio pilota condotto nel 2018 il cui obiettivo principale era quello di indagare le concept-image degli studenti in non standard (NSA) con l’intenzione di discutere, eventualmente confermare o respingere, l'affermazione secondo cui i concetti di NSA siano più vicini all'intuizione o alla concettualizzazione spontanea degli allievi; come abbiamo ricordato, tale affermazione è alla base di molte proposte didattiche che mirano a introdurre l'insegnamento della NSA sia a livello universitario sia a livello secondario
Summary
L’analisi non standard (NSA) è una rifondazione dell'analisi matematica sviluppata negli anni '60 del XX secolo, dal logico e matematico Abraham Robinson (1965/2013). Uno studio sulla concept-image di nozioni di base dell’analisi non standard / Mirko Maracci e Ambra Marzorati vera anche nel sistema dei numeri iperreali e viceversa: per esempio gli assiomi di campo ordinato, ma anche la maggior parte di teoremi riguardanti limiti, derivate e integrali, generalmente insegnati al livello universitario, possono essere espressi in forma elementare e quindi valgono in entrambi i sistemi.. Questo ha interessanti conseguenze: in effetti, all’interno del sistema dei numeri iperreali, alcune definizioni classiche di analisi standard possono essere sostituite con definizioni formalmente "più semplici" o possono essere addirittura evitate; questo, insieme alla possibilità di fare affidamento su definizioni rigorose di infiniti e infinitesimi, consente dimostrazioni "più semplici" di alcuni enunciati classici di analisi matematica (o se vogliamo della loro riformulazione nell’ambito degli iperreali). Questo può accadere in generale: enunciati, che restano formalmente validi, possono mutare in un certo senso di significato nel passaggio da un sistema all’altro
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