Abstract
Considere las particiones sin cruces de un conjunto de n elementos que no usan el bloque {n - 1, n}, ni usan a la vez el bloque {n} y un bloque que contenga a 1 y n - 1. En este artículo estudiamos el subposet del retículo de particiones sin cruces inducido por estos elementos. Probamos que este retículo es supersoluble, y por lo tanto es lexicogríaficamente descascarable. También damos un modelo combinatorio de las bases NBB de este retículo y derivamos una fórmula explicita para el valor de su función de Möbius entre el elemento mínimo y el máximo. Este trabajo es motivado por un artículo reciente de M. Bruce, M. Dougherty, M. Hlavacek, R. Kudo, e I. Nicolas en el cual introducen un subposet del retículo de particiones sin cruces que es determinado por funciones de parqueo con ciertas entradas prohibidas. En particular, ellos conjeturan que el poset resultante siempre tiene un complejo de orden contráctil. En este artículo probamos esta conjetura, sumergiendo su poset en el nuestro y mostrando que esta inmersión hereda la descascarabilidad lexicográfica.
Highlights
A set partition of [n] = {1, 2, . . . , n} is noncrossing if there are no indices i < j < k < l such that i, k and j, l belong to distinct blocks
Let us denote the set of all noncrossing set partitions by NCn
We can partially order noncrossing set partitions by dual refinement, meaning that x ∈ NCn is smaller than y ∈ NCn if every block of x is contained in a block of y
Summary
The lattice (NCn, ≤dref) of noncrossing set partitions is a remarkable poset with a rich combinatorial structure. Let us consider the poset (PEn,k, ≤pchn), which is the subposet of (NCn, ≤dref) determined by the maximal chains corresponding to these parking functions. Let 0 denote the discrete partition into singleton blocks, and let 1 denote the full partition into a single block It is the statement of [4, Theorem C] that the Mobius function of (PEn,k, ≤pchn) always vanishes between 0 and 1.
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