Time-Dependent Plane Wave Diffraction by a Half-Plane: Explicit Solution for Rawlins' Mixed Initial Boundary Value Problem

Abstract

Eine zeitabhängige, fortschreitende ebene Wellenfront G(t — x cos θ — y sin θ) trifft zum Zeitpunkt t = 0 mit dem Einfallswinkel θ auf die Streukante der Halbebene Σ: x > 0, y = 0. Bei gleichzeitig homogenen Anfangs- und Randbedingungen vom gemischten Typ: Dirichlet an dem oberen und Neumann an dem unteren Ufer von Σ, wird die explizite Lösungsformel für das totale Feld als Zeitfaltung mit G ermittelt. Die auf der Basis von [17] in [16] erhaltene Wiener-Hopf Lösung des stationären Rawlins-Problems [13] mit verallgemeinerter L2-Faktorisierung der stückweise stetigen Fouriersymbol-Matrix bezüglich der reellen Achse bringt hier die Anwendbarkeit der Cagniard-de Hoop-Methode [1]. Dieser Zugang ist auch durch spektraltheoretische Untersuchungen transienter Halbebenenprobleme inspiriert worden ([2,16]). Die Beweismethoden des Grenzabsorptionsprinzips für das Dirichlet-Sommerfeld-Problem in [2] (durch Deformation von Pfadintegralen [9]) hat innere Analogien zur hier benutzten Cagniard-de Hoop-Methode. This paper deals with the diffraction of a time-dependent plane wave field G(t — x cos θ — y sin θ) governed by the two-dimensional wave equation and striking the edge of the half-plane Σ: x > 0, y = 0., at time t = 0 with some incident angle θ. The explicit solution formula for the total wave field is derived as a convolution with respect to time for homogeneous initial data and homogeneous boundary conditions: Dirichlet on the upper, Neumann on the lower bank of Σ. The Cagniard de Hoop method [1] is seen to be applicable due to the Wiener-Hopf solution of the corresponding stationary Rawlins problem [13] obtained in [16] by generalized L2-factorization of its piece-wise continuous Fourier matrix symbol relative to the real line on the basis of [17]. This approach is also inspired by the attempt to solve transient half-plane problems via spectral theory ([2,16]). The method to prove the limiting absorption principle for the pure Dirichlet problem in [2] (by deforming integral paths [9]) has intrinsic anologies to the Cagniard de Hoop method used here.