The Tanaka formula for symmetric stable processes with index $\alpha $, $0<\alpha <2$

Abstract

Для симметричного $\alpha$-устойчивого процесса $Z=(Z_t)_{t\ge0}$, $0<\alpha<2$, любого $a\in\mathbf{R}$ и $\gamma\in(0,2)$ такого, что $\alpha-1<\gamma<\alpha$, мы приводим в явном виде разложение Дуба-Мейера для субмартингала $|Z-a|^\gamma=(|Z_t-a|^{\gamma})_{t\ge0}$, состоящее из константы $|a|^{\gamma}$, стохастического интеграла по компенсированной пуассоновской случайной мере, ассоциированной с $Z$, и предсказуемого возрастающего процесса. Для $1<\alpha<2$ мы рассматриваем также случай $\gamma=\alpha-1$, соответствующий знаменитой формуле Танака. Это распространяет результаты Салминена и Йора [11] на общий случай $0<\alpha<2$ с использованием альтернативного подхода. Работы по близкой проблематике: Танака [13], Фитцсиммонс и Гетур [4], Т. Ямада [16] и К. Ямада [15].