The Problem for a Mixed Equation with Fractional Power of the Bessel Operator

Abstract

В последнее время особый интерес представляют уравнения с частными производными, содержащими дифференциальный оператор дробного порядка. Подобные уравнения и задачи для них находят применение в теории вязкой упругости, электрохимии, теории управления, моделировании эпидемий и пандемий и в других различных областях. Настоящая работа посвящена решению дифференциальных уравнений, содержащих оператор Бесселя дробной степени. В статье рассматривается прямое и обратное преобразование Мейера, модифицированное для удобства работы с оператором Бесселя дробной степени. Для рассматриваемого преобразования Мейера получена свертка. Используя преобразования Лапласа и Пуассона получены факторизации прямого и обратного преобразований Мейера. С использованием рассмотренного модифицированного преобразования Мейера находится решение обыкновенного дифференциального уравнения с оператором Бесселя дробной степени. Рассматривается нелокальная краевая задача для смешанного параболо-гиперболческого уравнения, содержащего дробной степени оператор Бесселя. Доказывается, что, при выполнении определенных условий гладкости входных функций задачи и выполнения условия сопряжения на линии раздела областей гиперболичности и параболичности, регулярное решение нелокальной краевой задачи для смешанного параболо-гиперболического уравнения с оператором Бесселя дробной степени существует и единственно. Recently, of particular interest are partial differential equations containing a fractional order differential operator. Similar equations and problems for them find application in the theory of viscous elasticity, electrochemistry, control theory, modeling of epidemics and pandemics, and in various other areas. The present work is devoted to the solution of differential equations containing the Bessel operator of fractional degree. The article discusses the direct and inverse Meyer transforms, modified for the convenience of working with the Bessel operator of a fractional degree. For the considered Meyer transformation, a convolution is obtained. Using the Laplace and Poisson transformations, factorizations of the direct and inverse Meyer transformations are obtained. Using the considered modified Meyer transform, we find a solution to an ordinary differential equation with a Bessel operator of fractional degree. A nonlocal boundary value problem for a mixed parabolic-hyperbolic equation containing a fractional degree Bessel operator is considered. It is proved that, under certain conditions of smoothness of the input functions of the problem and the condition of conjugation on the dividing line of the regions of hyperbolicity and parabolicity, a regular solution of a nonlocal boundary value problem for a mixed parabolic-hyperbolic equation with a Bessel operator of fractional degree exists and is unique.