The Cauchy problem for wave equations with non Lipschitz coefficients; Application to continuation of solutions of some nonlinear wave equations

Abstract

On considere le probleme de Cauchy pour des equations d'onde strictement hyperboliques : Lu := Σ n j,k=0 ∂yj (α j,,k ∂ yk u) + Σ n j =0{b j ∂ yj u + ∂ yj , (cju)} + du = f, quand les coefficients de la partie principale sont seulement Log-Lipschitz en toutes les variables. Cette classe d'equation est invariante par changement de variables et est donc une classe naturelle pour une etude locale intrinseque. En particulier, on montre l'existence locale, l'unicite locale et la vitesse finie de propagation pour le probleme de Cauchy non caracteristique, donnant une version invariante d'un resultat anterieur du premier auteur avec N. Lerner [6]. Pour les equations non lineaires ou les coefficients ci-dessus dependent de u, la methode d'estimations permet de montrer que les solutions regulieres se prolongent en solutions regulieres aussi longtemps qu'elles restent Log-Lipschitz.