Stable matchings in high dimensions via the Poisson-weighted infinite tree

Abstract

Nous considérons l’appariement stable de deux processus de Poisson indépendants dans $\mathbb{R}^{d}$, sous une contrainte asymmetrique sur les couleurs. Un point bleu ne peut être apparié qu’à un point rouge, tandis qu’un point rouge peut être apparié soit à un point rouge soit à un point bleu. On ne sait pas s’il existe un choix d’intensités des processus bleu et rouge tel que tous les points sont appariés. Nous démontrons que pour toutes intensités fixes, il y a des points bleus non-appariés en dimension suffisamment elevée. En effet, si le rapport de l’intensité des points rouges à l’intensité des points bleus est $\rho $, l’intensité des points bleus non-appariés tend vers $e^{-\rho }/(1+\rho )$ quand $d\to \infty $. On établit aussi des résultats analogues pour certaines variantes à multiples couleurs. La preuve utilise un modèle d’appariement stable sur l’arbre infini pondéré de Poisson (PWIT), qui peut être analysé par des équations différentielles. Le PWIT a été utilisé dans de nombreux contextes comme limite d’échelle pour des modèles impliquant des graphes complets pondérés de variables aléatoires indépendants, mais à notre connaissance, celle-ci est la première présentation d’une application rigoureuse à l’espace euclidien en haute dimension. Finalement, on analyse le problème d’appariement asymétrique sous une métrique hiérarchique, et on démontre qu’il existe des points non-appariés pour tout choix d’intensités.