Abstract
We study some properties of structure of the multiplicative group $Z^*_m$, in case when m is Mersenne prime, Fermat or Carmichael number. Using the results of these studies, we obtain properties of Mersenne primes, Fermat and Carmichael numbers.
Highlights
Деякi властивостi простих чисел спецiального вигляду та чисел КармайклаДослiдженi деякi властивостi будови мультиплiкативної групи Zm∗ у випадку, коли m просте число Мерсенна, Ферма або число Кармайкла.
1) Оскiльки число Mp просте, то ZM∗ p – циклiчна група парного порядку, а отже, ZM∗ p має єдиний елемент порядку 2.
Що a3 ≡ 1(mod Mp) для деякого натурального a, 2 ≤ a ≤ 2p − 3; 3) оскiльки число 2p − 1 просте, то 2p − 1 = 6k + 1 для деякого k ∈ N.
Summary
Дослiдженi деякi властивостi будови мультиплiкативної групи Zm∗ у випадку, коли m просте число Мерсенна, Ферма або число Кармайкла. 1) Оскiльки число Mp просте, то ZM∗ p – циклiчна група парного порядку, а отже, ZM∗ p має єдиний елемент порядку 2. Що a3 ≡ 1(mod Mp) для деякого натурального a, 2 ≤ a ≤ 2p − 3; 3) оскiльки число 2p − 1 просте, то 2p − 1 = 6k + 1 для деякого k ∈ N. ZF∗k має єдиний елемент порядку 2, а отже, серед натуральних чисел iз [1; 22k + 1] конгруенцiя a2 ≡ 1(modFk) є правильна тiльки для 1 i 22k; 2) |ZF∗k| = 22k, а отже, у групi ZF∗k немає елементiв непарного порядку; 3) циклiчна група порядку 22k для будь-якого m ≤ 2k має точно одну пiдгрупу порядку 2m; 4)
Sign-in/Register to view highlights & summary Sign-in/Register to access full text options 
Talk to us
Join us for a 30 min session where you can share your feedback and ask us any queries you have
Schedule a callDisclaimer: All third-party content on this website/platform is and will remain the property of their respective owners and is provided on "as is" basis without any warranties, express or implied. Use of third-party content does not indicate any affiliation, sponsorship with or endorsement by them. Any references to third-party content is to identify the corresponding services and shall be considered fair use under The CopyrightLaw.
