SLE scaling limits for a Laplacian random growth model

Abstract

On considère un modèle d’agrégation planaire aléatoire selon la famille ALE(0,η), telle que les particules se rattachent préférentiellement à des régions de petites mesures harmoniques. On montre que le modèle exhibe une transition de phases pour des η négatifs, où pour les valeurs suffisamment grandes, la loi du rattachement de chaque particule devient atomique dans la limite des petites particules, et chaque particule est rattachée à une des deux points à la base de la particule précédente. Ceci complète le résultat de Sola, Turner et Viklund pour les grands η positifs, où la loi du rattachement se concentre en l’atome unique à l’extrémité de la particule précédente. Comme conséquence de cette condensation de la loi du rattachement, nous déduisons que quand la taille de particule tend vers zéro, l’amas ALE converge vers à une évolution de Schramm–Loewner de paramètre κ=4 (SLE4). Nous conjecturons aussi qu’en utilisant d’autres formes de particules appartenant à une certaine famille, nous obtiendrons un résultat similaire de renormalisation vers un SLEκ pour tout κ≥4.