Scaling limit of random planar quadrangulations with a boundary

Abstract

On s’intéresse à la limite d’échelle de grandes quadrangulations planaires à bord dont la longueur du bord est de l’ordre de la racine carrée du nombre de faces. On considère une suite $(\sigma_{n})$ d’entiers telle que $\sigma_{n}/\sqrt{2n}$ tende vers un certain $\sigma\in[0,\infty]$. Pour tout $n\ge1$, on note $\mathfrak{q}_{n}$ une carte aléatoire uniformément distribuée dans l’ensemble des quadrangulations planaires enracinées à bord ayant $n$ faces internes et $2\sigma_{n}$ demi-arêtes sur le bord. Dans le cas où $\sigma\in(0,\infty)$, on voit $\mathfrak{q}_{n}$ comme un espace métrique en munissant l’ensemble de ses sommets de la distance de graphe, renormalisée par le facteur $n^{-1/4}$. On montre que cet espace métrique converge en loi, tout du moins le long d’une sous-suite, vers un espace métrique limite aléatoire, au sens de la topologie de Gromov–Hausdorff. On montre que l’espace métrique limite est presque sûrement un espace de dimension de Hausdorff $4$ ayant un bord de dimension $2$ qui est homéomorphe au disque de dimension $2$. Pour $\sigma=0$, on a également la même convergence mais cette fois-ci, l’extraction d’une sous-suite n’est plus nécessaire et la limite est l’espace métrique connu sous le nom de carte brownienne. Pour $\sigma=\infty$, le bon facteur d’échelle devient $\sigma_{n}^{-1/2}$ et on a convergence vers l’arbre continu brownien d’Aldous.