Population size of a critical branching process evolving in unfovarable environment

Abstract

Пусть $Z_n, n=0,1,…\}$ - критический ветвящийся процесс в случайной среде, и пусть $\{S_n, n=0,1,…\}$ - его сопровождающее случайное блуждание. Известно, что если распределение приращений этого случайного блуждания принадлежит (без центрирования) области притяжения устойчивого распределения, то существует правильно меняющаяся на бесконечности последовательность $a_1,a_2,…$ такая, что для любых $t\in (0,1]$ и $x\in (0,+\infty)$ \begin{align*} \lim_{n\to \infty}\mathbf{P}(\frac{\ln Z_{nt}}{a_n}\leq x| Z_n>0) &= \lim_{n\to \infty}\mathbf{P}(\frac{S_{nt}}{a_n}\leq x| Z_n>0) &=\mathbf{P}(Y_t^+\leq x), \end{align*} где $Y_t^+$ - значение в точке $t$ извилины единичной длины некоторого строго устойчивого процесса. Мы дополняем этот результат описанием условных распределений соответствующим образом нормированных случайных величин $\ln Z_{nt}$ и $S_{nt}$ при условии $\{S_n\leq \varphi(n); Z_n>0\}$, где $\varphi(n)\to \infty$ при $n\to \infty$ так, что $\varphi(n)=o(a_n)$.