Poisson process with linear drift and related function series

Abstract

Рассматривается случайный процесс $Y(t)=at-\nu_+(pt)+\nu_-(-qt)$, $t\in(-\infty,\infty)$, где $\nu_{\pm}(t)$ - независимые стандартные пуассоновские процессы при $t\geqslant 0$ и $\nu_{\pm}(t)=0$ при $t<0$. Параметры $a$, $p$ и $q$ таковы, что $\mathbf{E}Y(t)<0$, $t\neq 0$. В работе найдены суммы $\varphi_m(z,r)=\sum_{k\geqslant 0}(re^{-r})^{k}(z+k)^{m+k-1}/k!$, $m=1,2,…$, $z\geqslant 0$, функциональных рядов с параметром $ r\in(0,1) $, которые используются для рекуррентного вычисления моментов $\mathbf{E}(t^*)^m$, $m\geqslant 1$, времени $t^*$ достижения максимума траекторией процесса $Y(t)$. Результаты работы применимы к задаче об оценивании параметра $\theta$ по $n$ наблюдениям с плотностью $f(x,\theta)$, которая имеет скачок в точке $x=x(\theta)$, $x'(\theta)\neq 0$. Если $\widehat\theta_n$ - это оценка максимального правдоподобия истинного параметра $\theta_0$, то предельным при $n\to\infty$ распределением для нормированных оценок $n(\widehat\theta_n - \theta_0)$ будет распределение аргумента максимума $t^*_{\theta_0}$ траектории процесса $Y(t)$ с параметрами $a$, $p$ и $q$, зависящими от односторонних пределов плотности в точке $x(\theta_0)$ и от производной $x'(\theta_0)$. Вычисление моментов $\mathbf{E}(t^*_{\theta_0})^m$, $m=1, 2$, в этом случае позволяет оценить величину асимптотического смещения оценки максимального правдоподобия и ее эффективность.