Abstract
In this paper, we study the phenomenon of appearance of new resonances in a timedependent harmonic oscillator under an oscillatory decreasing force. The studied equation belongs to the class of adiabatic oscillators and arises in connection with the spectral problem for the one-dimensional Schr¨odinger equation with Wigner–von Neumann type potential. We use a specially developed method for asymptotic integration of linear systems of differential equations with oscillatory decreasing coefficients. This method uses the ideas of the averaging method to simplify the initial system. Then we apply Levinson’s fundamental theorem to get the asymptotics for its solutions. Finally, we analyze the features of a parametric resonance phenomenon. The resonant frequencies of perturbation are found and the pointwise type of the parametric resonance phenomenon is established. In conclusion, we construct an example of a time-dependent harmonic oscillator (adiabatic oscillator) in which the parametric resonances, mentioned in the paper, may occur.
Highlights
Постановка задачиКлассическим примером системы с одной степенью свободы, в которой наблюдается явление параметрического резонанса, является уравнение Матье d2x
Где λ > 0 вещественный параметр, а ε > 0 малый параметр
We study the phenomenon of appearance of new resonances in a timedependent harmonic oscillator under an oscillatory decreasing force
Summary
Классическим примером системы с одной степенью свободы, в которой наблюдается явление параметрического резонанса, является уравнение Матье d2x. Что задача поиска значений λ, при которых в уравнении (6) реализуется параметрический резонанс, тесно связана с задачей отыскания вложенных собственных значений на непрерывном спектре для одномерного оператора Шредингера с указанным потенциалом. Если выполнено условие дихотомии (17), (18), то фундаментальная матрица X(t) L-диагональной системы (16) допускает следующее асимптотическое представление при t → ∞: t. Система (20) заменой y = C(t)x, где C(t) невырожденная матрица, по столбцам которой стоят собственные векторы матрицы A0 + V (t), и C (t) ∈ L1[t0, ∞), может быть приведена к L-диагональной форме (16) (см, например, [4]). Λm(t) матрицы A0 + V (t), то фундаментальная матрица Y (t) системы (20) имеет следующее асимптотическое представление при t → +∞:.
Sign-in/Register to view highlights & summary Sign-in/Register to access full text options 
Talk to us
Join us for a 30 min session where you can share your feedback and ask us any queries you have
Schedule a call
