On the time of attaining a high level by a transient random walk in a random environment

Abstract

Пусть задана последовательность независимых одинаково распределенных пар случайных величин $(p_i, q_i), i\in \mathbf{Z}$, причем $p_0 + q_0 = 1$ и п.н. $p_0 > 0, q_0 > 0$. Рассматривается случайное блуждание в случайной среде $(p_i, q_i), i \in \mathbf{Z}$. Это означает, что при фиксированной случайной среде блуждающая частица совершает переход из состояния $i$ либо в состояние $(i + 1)$ с вероятностью $p_i$, либо в состояние $(i-1)$ с вероятностью $q_i$. Предполагается, что $\mathbf{E} \ln(p_0/q_0) < 0$, т.е. блуждание уходит на $-\infty$. Такие блуждания подразделяются на три типа в зависимости от знака $\mathbf{E} ((p_0/q_0) \ln(p_0/q_0))$. В случае, когда последнее математическое ожидание равно нулю, устанавливается предельная теорема при $n\rightarrow\infty$ для распределения времени первого достижения уровня $n$ указанным блужданием.