On the Relation of Symplectic Algebraic Cobordism to Hermitian $K$-Theory

Abstract

Эрмитова $K$-теория восстанавливается посредством алгебраических симплектических кобордизмов. В мотивной стабильной гомотопической категории $\mathrm {SH}(S)$ имеется единственный морфизм $\varphi \colon \mathbf {MSp}\to \mathbf {BO}$ коммутативных кольцевых $T$-спектров, посылающий класс Тома $\mathrm {th}^{\mathbf {MSp}}$ в класс Тома $\mathrm {th}^{\mathbf {BO}}$. С помощью $\varphi $ строится изоморфизм биградуированных кольцевых теорий когомологий на категории $\mathcal Sm\mathcal Op/S$ вида $\overline \varphi \colon \mathbf {MSp}^{*,*}(X,U)\otimes _{\mathbf {MSp}^{4*,2*}(\mathrm {pt})} \mathbf {BO}^{4*,2*}(\mathrm {pt}) \cong \mathbf {BO}^{*,*}(X,U)$. Этот результат представляет собой алгебраический аналог теоремы Коннера и Флойда, которая восстанавливает вещественную $K$-теорию по симплектическим кобордизмам. При переписывании бииндексов таким образом, что $\mathbf {MSp}^{p,q}=\mathbf {MSp}^{[q]}_{2q-p}$, получается изоморфизм $\overline \varphi \colon \mathbf {MSp}^{[*]}_*(X,U)\otimes _{\mathbf {MSp}^{[2*]}_0(\mathrm {pt})} \mathrm {KO}^{[2*]}_0(\mathrm {pt}) \cong \mathrm {KO}^{[*]}_*(X,U)$, в котором $\mathrm {KO}^{[n]}_i(X,U)$ - эрмитовы $K$-группы Шлихтинга.