On the Relation between Weak Solutions of Elliptic Dirichlet and Neumann Boundary-Value Problems for Plane Simply Connected Domains

Abstract

Для любой односвязной области $\Omega\subset\mathbb{R}^2$, в том числе и неограниченной, но с дополнением, имеющим непустую внутренность, установлена в явном виде взаимосвязь разрешающих операторов эллиптических краевых задач Дирихле и Неймана для классов слабых решений с первыми производными из $L_p(\Omega)$. Предполагается, что равномерно эллиптические операторы имеют дивергентный вид с существенно ограниченными матричными коэффициентами при заданных в правой части функционалах, ограниченных на пространствах соответствующих слабых решений. Взаимосвязь разрешающих операторов установлена при выполнении необходимого и достаточного условия разрешимости задачи Неймана, т.е. при обнулении заданного функционала на подпространстве констант. Библиография: 7 названий.