On the performance of the Euler–Maruyama scheme for SDEs with discontinuous drift coefficient

Abstract

De nombreux efforts ont été consacrés récemment à l’analyse de l’erreur $L_{p}$ de schéma d’Euler–Maruyama pour des équations différentielles stochastiques (EDS) avec un coefficient de dérive pouvant avoir des discontinuités en espace. Jusqu’à présent, pour des EDS scalaires avec un coefficient de dérive Lipschitz par morceaux et un coefficient de diffusion Lipschitz qui est non nul aux points de discontinuité du coefficient de dérive, seule une borne d’erreur $L_{p}$ avec un taux d’au moins $1/(2p)$ – a été obtenue. Dans cet article, nous montrons que sous les hypothèses précédentes, le schéma d’Euler–Maruyama réalise un taux d’erreur $L_{p}$ d’au moins $1/2$ pour tout $p\in [1,\infty )$, comme dans le cas d’EDS avec coefficients Lipschitz. La preuve de ce résultat se fonde sur une analyse détaillée de temps d’occupation bien choisis pour le schéma d’Euler–Maruyama.