On the coercitive solvability of the non-linear Laplace-Beltrami equation in Hilbert space

Olimjon Khudoyberdievich Karimov

doi:10.22405/2226-8383-2021-22-1-163-176

Abstract

The problem of separability of differential operators is considered for the first time in the works of V. N. Everitt and M. Hirz. Further development of this theory belongs to K. H. Boymatov, M. Otelbaev and their students. The main part of the published papers on this theory relates to linear operators. The nonlinear case was considered mainly when studied operator was a weak perturbation of the linear one. The case when the operator under study is not a weak perturbation of the linear operator is considered only in some works. The results obtained in this paper also relate to this little-studied case. The paper studies the coercive properties of the nonlinear Laplace-Beltrami operator in the space L2(R^n) $$L[u]=-\frac{1}{\sqrt{det g(x)}}\sum_{i,j=1}^n\frac{\partial}{\partial x_i}\left[\sqrt{det g(x)}g^{-1}(x)\frac{\partial u}{\partial x_j}\right]+V(x,u)u(x)$$, and proves its separability in this space by coercivity estimates. The operator under study is not a weak perturbation of the linear operator, i.e. it is strongly nonlinear. Based on the obtained coercive estimates and separability, the solvability of the nonlinear Laplace-Beltrami equation in the space L2(R^n) is studied

Highlights

Some inequalities associated with certain differential operators // Math.Z., 1972, v.126, pp
Коэрцитивная оценка и теорема разделимости для одного класса нелинейного дифференциального оператора в гильбертовом пространстве // Чебышевский сборник

Summary

Введение

В настоящей работе исследуется разделимость нелинейного оператора Лапласа — Бельтрами. Установлены соответствующие неравенства коэрцитивности для оператора L[u] и получены новые достаточные условия разделимости этого оператора в пространстве L2(Rn). На основе полученных результатов по разделимости и коэрцитивных оценок изучается разрешимость уравнения Лапласа-Бельтрами в гильбертовом пространстве. Фундаментальные результаты по теории разделимости дифференциальных операторов принадлежат В.Н.Эверитту и М.Гирцу. Разделимость нелинейного оператора Шрёдингера изучена в работе [10]. Разделимость и коэрцитивные свойства строго нелинейных операторов рассматривались в работах [5], [16]-[19]. Разделимость дифференциальных выражений с частными производными впервые исследовалась в работе К.Х.Бойматова [5]. Разделимость линейного оператора Лапласа-Бельтрами (x)u(x), ранее изучалась в работe [15]. Что разделимость нелинейных дифференциальных операторов, в основном, исследовалась в случае, когда оператор является слабым возмущением линейного оператора. В отличие от этого, рассматриваемые ниже нелинейные дифференциальные операторы могут не являются слабым возмущением линейного оператора

Формулировка основного результата

Вспомогательные леммы

Доказательство теоремы 1

Разрешимость

Заключение