On the boundary of the zero set of super-Brownian motion and its local time

Abstract

Si l’on note $X(t,x)$ la densité du super-mouvement brownien de dimension $1$, nous montrons que \[\operatorname{dim}\bigl(\partial\bigl\{x:X(t,x)>0\bigl\}\bigl)=2-2\lambda_{0}\in(0,1)\quad\text{p.s. sur }\{X_{t}\neq0\},\] ou $-\lambda_{0}\in(-1,-1/2)$ est la valeur propre dominante d’un processus d’Ornstein–Uhlenbeck tué. Ceci confirme une conjecture de Mueller, Mytnik et Perkins (Ann. Probab. 45 (2017) 3481–3543), qui avaient montré que cette propriété a lieu avec probabilité strictement positive. Pour démontrer ce résultat, nous établissons quelques propriétés de base d’un temps local de bord introduit récemment par T. Hughes, et nous analysons le comportement de $X(t,\cdot)$ près de la borne supérieure de son support. Des simulations numériques de $\lambda_{0}$ suggèrent que la dimension de Hausdorff ci-dessus est approximativement $0{,}224$.