On local structure of one-dimensional basic sets of non-reversible A-endomorphisms of surfaces

Vyacheslav Z Grines,Evgenii V Zhuzhoma

doi:10.15507/2079-6900.22.202004.424-433

Abstract

Recently the authors of the article discovered a meaningful class of non-reversible endomorphisms on a two-dimensional torus. A remarkable property of these endomorphisms is that their non-wandering sets contain nontrivial one-dimensional strictly invariant hyperbolic basic sets (in the terminology of S. Smale and F. Pshetitsky) which have the uniqueness of an unstable one-dimensional bundle. It was proved that nontrivial (other than periodic isolated orbits) invariant sets can only be repellers. Note that this is not the case for reversible endomorphisms (diffeomorphisms). In the present paper, it is proved that one-dimensional expanding uniquely hyperbolic and strictly invariant one-dimensional expanding attractors and one-dimensional contracting repellers of non-reversible A-endomorphisms of closed orientable surfaces have the local structure of the product of an interval by a zero-dimensional closed set (finite or Cantor). This result contrasts with the existence of one-dimensional fractal repellers arising in complex dynamics on the Riemannian sphere and not possessing the properties of the existence of a single one-dimensional unstable bundle.

Highlights

The authors of the article discovered a meaningful class of non-reversible endomorphisms on a two-dimensional torus
A remarkable property of these endomorphisms is that their non-wandering sets contain nontrivial one-dimensional strictly invariant hyperbolic basic sets
It is proved that one-dimensional expanding uniquely hyperbolic and strictly invariant one-dimensional expanding attractors and one-dimensional contracting repellers of nonreversible A-endomorphisms of closed orientable surfaces have the local structure of the product of an interval by a zero-dimensional closed set

Summary

Введение и формулировка основных результатов

Под эндоморфизмом мы понимаем C1-гладкое сюрьективное отображение многообразия на себя. Точка x ∈ M эндоморфизма f : M → M называется неблуждающей, если для любой окрестности U точки x и любого i0 ∈ N найдется i ≥ i0 такое, что f i(U ) ∩ U= ∅. Гиперболическое множество Λ называется однозначно гиперболическим, или множеством с однозначно определенным неустойчивым расслоением, если неустойчивое подрасслоение Eu(x0) не зависит от отрицательной полу-орбиты {xi}0i=−∞ для любой точки x0 ∈ Λ. Базисное множество Ωa называется аттрактором, если существует окрестность U множества Ωa такая, что. Аттрактор Ωa называется растягивающимся, если его топологическая размерность равна размерности неустойчивого подрасслоения Eu(x0) = Eu(x0, {xi}0i=−∞) для любой точки x0 ∈ Ωa и любой отрицательной полу-орбиты {xi}0i=−∞ ⊂ Ωa. Следующее утверждение контрастирует с ситуацией, когда эндоморфизм является диффеоморфизмом, даже если аттрактор эндоморфизма строго инвариантный и имеет однозначно определенное неустойчивое расслоение (для диффеоморфизма это выполняется автоматически).

Вспомогательные результаты

Доказательство основных результатов