On extremal functions in inequalities for entire functions

Abstract

Пусть $B_{\sigma}$, $\sigma>0$, - класс целых функций экспоненциального типа $\leqslant\sigma$, ограниченных на вещественной оси. Для последовательности комплексных чисел $\{c_k\}_{k\in\mathbb{Z}}$ с условием $\sum_{k\in\mathbb{Z}}|c_k|<+\infty$ и числа $\tau\in\mathbb{R}$ рассмотрен оператор $H$, заданный на $B_{\sigma}$ по формуле $$ H(f)(x)=\sum_{k\in\mathbb{Z}}c_k f(x-\tau+\frac{k\pi}{\sigma}). $$ Для оператора $H$ очевидно выполняется неравенство $$ |H(f)(x)|\leqslant \varkappa \|f\|_{\infty}, \qquad x\in\mathbb{R}, \quad f\in B_{\sigma}, \quad \varkappa=\sum_{k\in\mathbb{Z}} |c_k|. $$ Основная цель работы это описание всех экстремальных функций в этом неравенстве. В теореме 1 доказано, что если выполняются два условия: 1) $\exists s\in\mathbb{Z}$: $\overline{c_{s}}c_{s+1}<0$ и 2) $\exists \varepsilon\in\mathbb{C}$, $|\varepsilon|=1$: $\varepsilon c_k (-1)^k\geqslant0$, $k\in\mathbb{Z}$, то множество всех экстремальных функций для приведенного выше неравенства совпадает со множеством функций вида $f(t)=\mu e^{i\sigma t}+\nu e^{-i\sigma t}$, $\mu,\nu\in\mathbb{C}$. В доказательстве теоремы 1 существенно используется теорема 2: если $f\in B_{\sigma}$ и для некоторой точки $\xi\in\mathbb{R}$ выполняются равенства $|f(\xi)|=\|f\|_{\infty}$ и $f(\xi+\pi/\sigma)=-f(\xi)$, то $f(t)=\mu e^{i\sigma t}+\nu e^{-i\sigma t}$, $\mu,\nu\in\mathbb{C}$. В теореме 3 приведены общие примеры операторов, для которых выполнены оба условия теоремы 1. В частности, таким оператором является оператор дробной производной $H(f)(x)=f^{(r,\beta)}(x)$ при $r\geqslant 1$, $\beta\in\mathbb{R}$. Библиография: 20 названий.