On a Polynomial Version of the Sum-Product Problem for Subgroups

Abstract

Мы обобщаем два результата работ [1], [2] о суммах подмножеств $\mathbb{F}_p$ на более общую ситуацию, когда вместо суммы $x+y$ рассматривается величина $P(x,y)$, где $P$ - многочлен достаточно общего вида. В частности, получена нижняя оценка мощности множества значений многочлена $P(x,y)$, где переменные $x$ и $y$ принадлежат подгруппе $G$ мультипликативной группа поля $\mathbb{F}_p$. Также мы доказываем, что если подгруппа $G$ может быть представлена как множество значений многочлена $P(x,y)$ при $x\in A$, $y\in B$, то мощности множеств $A$ и $B$ по порядку близки к $\sqrt{|G|}$ . Библиография: 7 названий.