NP-Completeness and One Polynomial Subclass of the Two-Step Graph Colouring Problem

N S Medvedeva,A V Smirnov

doi:10.3103/s0146411620070159

Abstract

This paper considers the two-step colouring problem for an undirected connected graph. The problem is about colouring the graph in a given number of colours so that no pair of vertices at a distance of 1 or 2 between each other has the same colour. Also the corresponding recognition problem is set. The problem is closely related to the classical graph colouring problem. In the article, the polynomial reduction of the problems to one another is analyzed and proved. In particular, this allows us to prove the NP-completeness of the two-step colouring problem. Also we specify some of its properties. The two-step colouring problem as applied to rectangular grid graphs is considered separately. The maximum vertex degree in these graphs ranges from 0 to 4. The function of two-vertex colouring in the minimum possible number of colours was defined and proved for each case. The resulting functions are drawn so that each vertex is coloured independently from others. If the vertices are examined in a sequence, the time for colouring a rectangular grid graph will be polynomial.

Highlights

По условиям задачи о двухшаговой раскраске данные вершины должны иметь различные цвета, однако ограничения классической задачи допускают для вершин v2 и v3 одинаковые цвета
Определим для вершин графа G′ цвета по правилам классической задачи о раскраске, а затем наложим полученную раскраску на исходный граф
Предположим, что для задачи РАСКРАСКА-2 данного вида найдено решение и каждой вершине v ∈ V ∪ V ′ поставлен в соответствие номер цвета из множества C = {1, . . . , m + K}: R′ = {(v, c) | c ∈ C, v ∈ V ∪ V ′}

Summary

Постановка задачи

Рассмотрим произвольный связный неориентированный граф G(V, E). Перед тем как формулировать основную задачу, введем необходимые определения. Будем называть вершину v2 ∈ V соседом первого порядка для некоторой вершины v1 ∈ V , если v1 и v2 – смежные вершины, то есть существует ребро {v1, v2} ∈ E. Множество всех соседей первого порядка для вершины v ∈ V будем обозначать через Nv1. Множество соседей первого и второго порядка для некоторой вершины v ∈ V будем называть соседями v и обозначать через Nv = Nv1 ∪ Nv2. Требуется получить раскраску G в K цветов таким образом, чтобы для каждой вершины v ∈ V ни один из ее соседей первого или второго порядка не был окрашен в тот же цвет. Можно ли раскрасить граф G в k цветов, k K, таким образом, чтобы для каждой вершины v ∈ V ни один из ее соседей первого или второго порядка не был окрашен в тот же цвет?. Задачу о двухшаговой раскраске графа будем обозначать как РАСКРАСКА-2

Сведение задачи РАСКРАСКА-2 к классической задаче о раскраске графа

Свойства задачи

NP-полнота задачи

Двухшаговая раскраска прямоугольного графа решетки