New representaions of elements of skew linear recurrent sequences via trace function based on the noncommutative Hamilton - Cayley theorem

Abstract

Пусть $p$ - простое число, $R=\mathrm{GR}(q^d,p^d)$ - кольцо Галуа мощности $q^d$ и характеристики $p^d$, где $q = p^r$, $S=\mathrm{GR}(q^{nd},p^d)$ - расширение степени $n$ кольца $R$, а $\mathrm{End}(_RS)$ - кольцо эндоморфизмов модуля $_RS$. Последовательность $v$ над $S$, удовлетворяющая закону рекурсии $$ \forall i\in\mathbb{N}_0\colon v(i+m)= \psi_{m-1}(v(i+m-1))+\ldots+\psi_0(v(i)), $$ $\psi_0,\ldots,\psi_{m-1 }\in \mathrm{End}(_RS)$, называется скрученной линейной рекуррентной последовательностью (ЛРП) над $S$; ее максимально возможный период равен $(q^{mn}-1)p^{d-1}$. С использованием функции след для представлений элементов скрученной ЛРП максимального периода доказано, что такая ЛРП линеаризуема, если коэффициенты в законе рекурсии попарно коммутируют.