Abstract
Теория геометрических подстановок Арно-Ито позволяет строить последовательности обобщенных перекладывающихся разбиений d-мерного тора. Эти разбиения состоят из параллелепипедов d + 1 типа, а действие некоторого сдвига тора на разбиении сводится к перекладыванию d+1 центрального параллелепипеда. Более того, множество вершин всех параллелепипедов разбиения представляет собой фрагмент орбиты нуля относительно этого сдвига тора. Рассматриваемые разбиения активно используются в различных задачах теории чисел, комбинаторики и теории динамических систем. В настоящей работе изучается локальная структура разбиений тора, получаемых на основе геометрических подстановок. n-короной параллелепипеда называется множество всех параллелепипедов, отстоящих от данного на расстояние не более n в естественной метрике разбиения. Задача состоит в описании всех возможных типов n-корон. Каждому параллелепипеду разбиения естественным образом присваивается номер – его номер в орбите соответствующего центрального параллелепипеда относительно сдвига тора. Доказано, что множество всех номеров распадается на конечное число полуинтервалов, определяющих возможные типы n-корон. Более того, доказано, что границы соответствующих полуинтервалов определяются номерами параллелепипедов, входящих в n-корону набора из d + 1 центрального параллелепипеда. Показано, что этот результат можно рассматривать как некоторое многомерное обобщение знаменитой теоремы о трех длинах. Ранее аналогичное описание было получено для 1-корон разбиений тора получаемых при помощи одной конкретной геометрической подстановки: подстановки Рози. Кроме того, аналогичные результаты ранее были получены для ряда квазипериодических разбиений плоскости. В заключении сформулирован ряд направлений для дальнейшего исследования.
Highlights
These tilings consist of parallelepipeds of d + 1 type
the set of vertices of all parallelepipeds of the tiling is a fragment of the orbit of zero point
The considered tilings are actively used in various problems of number theory
Summary
Пусть L — некоторая решетка, v — иррациональный относительно решетки L вектор, то есть вектор, координаты которого в некотором базисе решетки L линейно независимы над Z вместе с единицей (очевидно, что данное определение не зависит от выбора базиса). Что во всех разбиениях существует ровно 9 типов наборов ромбов, соседних с заданным ромбом. Что ранее результаты, аналогичные результатам из [15] были получены для ряда бесконечных квазипериодических разбиений плоскости, где удавалось получить описание тайлов соседних с заданным тайлом разбиения в терминах так называемого параметра этого тайла [8], [9], [23], [33]. При этом с точки зрения теории бесконечных квазипериодических разбиений множество тайлов, соседних с данным тайлом X, образует так называемую 1-корону тайла Crn(X, 1) [7]. Можно также индуктивно определить n-корону Crn(X, n) как объединение (n − 1)-короны Crn(X, n − 1) и множества соседних с ней тайлов разбиения. В настоящей работе рассматриваются произвольные обобщенные перекладывающиеся разбиения тора, построенные на основе теории геометрических подстановок Арно-Ито и дается полное описание их n-корон для произвольного n
Sign-in/Register to view highlights & summary Sign-in/Register to access full text options 
Talk to us
Join us for a 30 min session where you can share your feedback and ask us any queries you have
Schedule a call
