Abstract
Methods of symbolic dynamics play an essential role in the study of combinatorial properties of words, problems in number theory and the theory of dynamical systems. The paper is devoted to the problems of combinatorics on words, its applications in algebra and dynamical systems. Section 2.1 considers the one-dimensional case using the key example of Sturm’s words. The proof of the criterion for substitutionality of Sturm palindromes using the Rauzy induction is given, the case of one-dimensional facordynamics is considered. Section 2.2 discusses the shift of the torus and the Rauzy fractal that generates the word Tribonacci. The relationship between the periodicity of Rauzy’s schemes and the substitutionality of the word generated by this system is discussed. The implementation of the word Tribonacci through the rearrangement of line segments is given. An approach to the Pisot hypothesis is outlined. Section 2.3 talks about unipotent torus transformations and billiards in polygons. Chapter 3 talks about normal forms and the growth of groups and algebras. Chapter 4 is devoted to Rosie graphs, Gr¨obner bases and co-growth, and algebraic applications. Section 4.1 discusses the results in the combinatorics of multilinear words developed by V. N. Latyshev and the problems he posed. Section 4.2 talks about finitely defined objects and the problems of controlling the relationships that define them. Section 4.3 describes some monomial algebras in terms of uniformly recurrent words. Chapter 5 deals with the problem of height and normal forms.
Highlights
Бесконечное слово w называется существенной эволюцией точки x0, если любое его начальное подслово — существенная конечная эволюция точки x0
Бесконечное слово w называется словом Штурма (Sturmian word), если для любого натурального n ≥ 1 выполнено равенство Tn(w) = n + 1
Representation theory and dynamical systems, //185–204, Adv. Soviet Math., 9, Amer
Summary
Методы символической динамики играют существенную роль в изучении комбинаторных свойств слов, задачах теории чисел и теории динамических систем. По последовательности итераций можно построить бесконечное слово w над бинарным алфавитом A = {a, b}: wn. Конечное слово υ называется конечной существенной эволюцией точки, если в любой окрестности Q точки x0 найдётся открытое множество, все точки которого имеют конечную эволюцию υ. Бесконечное слово w называется существенной эволюцией точки x0, если любое его начальное подслово — существенная конечная эволюция точки x0. Под прямой задачей символической динамики понимается изучение комбинаторных свойств слов, порожденных данной динамической системой, обратная задача символической динамики изучает свойства динамической системы, то есть свойства компакта M и преобразования f по комбинаторным свойствам слова w. Что если слово w равномерно-рекуррентно, то полученная динамическая система минимальна, то есть не содержит нетривиальных замкнутых инвариантных траекторий. Можно сформулировать комбинаторные условия на то, что динамическая система является сдвигом тора, в терминах функции рассогласования. Определим функцию рассогласования ρ(U, V ) как верхнюю плотность множества позиций в словах U, V в которых стоят разные символы
Sign-in/Register to view highlights & summary 
Published Version (
Free)
Talk to us
Join us for a 30 min session where you can share your feedback and ask us any queries you have
Schedule a call